Dinic算法基础

一、一、引引言言 图论这门古老而又年轻的学科1在信息学竞赛中占据了相当大的比重。 其中， 网络流算法经常在题目中出现。网络流涵盖的知识非常丰富，从基本的最小割最 大流定理到网络的许多变形再到最高标号预流推进的六个优化等等， 同学们在平 时需要多多涉猎这方面的知识，不断积累，才能应对题目的各种变化。 随着信息学竞赛的不断发展， 其题目的难度以及考察范围都不断增大。 现在， 对于一些新出现的题目，仅仅掌握最朴素的网络流算法并不足以解决问题。本文 针对一些数据规模比较大的网络流题目详细介绍了基于分层思想的 3 个网络流 算法，并通过列举和比较说明了其在解题中的应用，而对一些基础的知识，如最 小割最大流定理等，没有作具体阐释，大家可以在许多其他网络流资料中找到。 二、预备概念二、预备概念 2.12.1 剩余图的概念剩余图的概念 给定一个流量网络G 1  (E 1,V1 )、源点s、汇点t、容量函数c，以及其上的 流量函数f。我们这样定义对应的剩余图G 2  (E 2 ,V 2 )：剩余图中的点集与流量 网络中的点集相同，即V 2 V 1 。对于流量网络中的任一条边 3(u,v)E 1 ，若 f (u,v)  c(u,v)， 那 么 边(u,v)E 2 ， 这 条 边 在 剩 余 图 中 的 权 值 为 g(u,v)  c(u,v)  f (u,v)；同时，若f (u,v)  0那么边(v,u)E 2 ，这条边在剩余图 2 2 1 图论这门学科的诞生始于 18 世纪欧拉证明了七桥问题，发表《依据几何位置的解题方法》一文。但图论 的真正发展是从 20 世纪五六十年代开始的。所以说，图论是一门既古老又年轻的学科。 2 本文对一些基本的理论，如最大流最小割定理等，不做阐述，读者可以参阅相关网络流资料。 3 本文中所有涉及到的边若无指明均为有向边。 中的权值为g(v,u)  f (u,v)。 我们可以发现， 流量网络中的每条边在剩余图中都化作一条或二条边。剩余 图中的每条边都表示在原流量网络中能沿其方向增广。 剩余图的权值函数g(a,b) 表示在流量网络中能够沿着a到b的方向增广大小为g(a,b)的流量。所以在剩余 图中，从源点到汇点的任意一条简单路径4都对应着一条增广路，路径上每条边 的权值的最小值即为能够一次增广的最大流量。 2.22.2 顶点的层次顶点的层次 在剩余图中，我们把从源点到点u的最短路径长度称作点u的层次，记为 level(u)。源点的层次为 0。在下面这张剩余图中： 1 源点 0 3 2 汇点 3 每个点旁边的数字即表示该点在图中的层次。 2.32.3 层次图的概念层次图的概念 我们这样定义层次图G 3  (V 3 ,E 3 )：对于剩余图G 2  (V 2 ,E 2 )中的一条边 (u,v)， 当且仅当level(u) 1 level(v)时， 边(u,v)E 3 ；V 3 {u | E 3中有边与u相连} 直观地讲，层次图是建立在剩余图基础之上的一张“最短路图” 。从源点开 4简单路径：路径中不存在重复的顶点或边 始， 在层次图中沿着边不管怎么走， 经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路。 2.42.4 阻塞流的概念阻塞流的概念 在流量网络中存在一可行流f，当该网络的层次图G 3 中不存在增广路时， 我们称流函数f为层次图G 3 的阻塞流。 三、最短路径增值算法三、最短路径增值算法 (MPLA)(MPLA)的步骤及复的步骤及复 杂度分析杂度分析 3.13.1 算法步骤算法步骤 之前我们讲到的层次图将被应用在最短路径增值算法中。 首先，我们看一下 最短路径增值算法的步骤： 算法中，2、3 步被循环执行，我们将执行 2、3 步的一次循环称为一个阶段。阶段。 每个阶段中， 我们首先根据剩余图建立层次图， 然后不断用 bfs 在层次图内增广， 寻找阻塞流。增广完毕后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不在层次 图内出现为止。 汇点不在层次图内意味着在剩余图中不存在一条从源点到汇点的 路径，即没有增广路。 1、初始化流量，计算出剩余图 2、根据剩余图计算层次图。若汇点不在层次图 内，则算法结束 3、在层次图内不断用 bfs 增广，直到层次图内没 有增广路为止 4、转步骤 2 在程序实现的时候，层次图并不用被“建”出来，我们只需对每个顶点标记 层次，增广的时候，判断边是否满足level(u) 1 level(v)这一约束即可。 3.23.2 定理的证明定理的证明 定理：对于有n 个点的流量网络，在最短路径增值算法中，最多 有 n 个阶段。 也就是说，在算法中层次图最多被建立n 次。证明这个定理有助于我们进行 算法复杂度分析。 证明： 在建立完层次图以后，假设从源点到汇点的最短路径长度为k，我们将层次 图中所有的点分到 k+1 个集合中，第 i 个集合为{顶点u |level(u)  i 1}，如下图 所示： {层次为 0 的顶点集合} {层次为 1 的顶点集合} {层次为 2 的顶点集合}. . . {层次为 k 的顶点集合} {层次为 k-1 的顶点集合} 在剩余图中，存在着 2 类边。 第一类：从第i个集合中的顶点连到第i 1(1 i  k)个集合中的顶点 第二类：从第i(1 i  k 1)个集合中的顶点连到第j(1 j  i)个集合中的顶点 在层次图中，只存在第一类边，这是由层次图的性质决定的。我们所要找的 增广路中的边也必定是第一类边。 当我们对一条增广路径增广后， 会删除一条或多条增广路中的饱和边，也就 是第一类边； 而同时会在剩余图中加入一些与增广路径中的边反向的边。这些新 加入的边一定是第二类边。如下图所示，在剩余图 (a)中，找到一条从左向右的 增广路径，能够增广的流量大小为2。增广后的结果是剩余图(b)。可以发现，在 剩余图(a)里面，中间一条红色第一类边在增广后饱和而被删除了，同时，在剩 余图(b)中，新增了 2 条绿色的第二类边。 6 3 源点 24 汇点 剩余图(a) 4 5 源点 剩余图(b) 2 2 2 汇点 当我们在层次图中找到阻塞流之后， 层次图中就不存在从第一个集合一步一 步往下走， 最后达到第 k+1 个集合的长为 k 的路径了。 而此时不在层次图中的边 都是第二类边。我们可以发现，这个时候在剩余图中的最短路径一定是这样：从 源点开始，往下一步一步走，走到某个集合后沿着第二类边向上退至某个集合， 再继续一步一步向下走，到某个集合又向上退…………直到走到汇点。 因为必然会经过第二类边，而经过的第一类边的数量=k，所以路径总长度 一定大于 k。这即是下一个阶段的最短路径长度。 由此，我们得出了一个结论： 结论：层次图中增广路径长度随阶段而严格递增。 因为增广路径长度最短是 1，最长是n-1 ，再算上汇点不在层次图内的最后 一次，层次图最多被建造 n 次，所以最短路径增值算法最多有 n 个阶段。 证毕。 3.33.3 复杂度分析复杂度分析 3.3.13.3.1 建造层次图的复杂度分析建造层次图的复杂度分析 我们将复杂度分析分为建层次图和找增广路两部分讨论。 前面已经证明了，在最短路径增值算法中，最多建n