备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编1982021

备战 2021 年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2021） 专题专题 2121 复数复数 A A 辑辑 历年联赛真题汇编历年联赛真题汇编 1． 【2000 高中数学联赛（第 01 试） 】设𝝎 = 𝐜𝐨𝐬+ i𝐬𝐢𝐧 ，则以𝝎,𝝎𝟑,𝝎𝟕,𝝎𝟗为根的方程是() 𝟓𝟓 𝝅𝝅 A．𝒙𝟒+ 𝒙𝟑+ 𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 C．𝒙𝟒− 𝒙𝟑− 𝒙𝟐+ 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 【答案】B B．𝒙𝟒− 𝒙𝟑+ 𝒙𝟐− 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 D．𝒙𝟒+ 𝒙𝟑+ 𝒙𝟐− 𝒙 − 𝟏 = 𝟎 【解析】本题也可以用检验法.显然|𝝎| = 𝟏,𝝎𝟏𝟎= 𝟏， ̅ = 𝟐𝐜𝐨𝐬+ 𝟐𝐜𝐨𝐬 所以𝝎 + 𝝎𝟑+ 𝝎𝟕+ 𝝎𝟗= 𝝎 + 𝝎𝟑+ 𝝎𝟑+ 𝝎 𝟓 𝝅𝟑𝝅 𝟓 = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 𝟓 𝐜𝐨𝐬= 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟓 𝝅𝟐𝝅 𝟓 𝐜𝐨𝐬𝐬𝐢𝐧= 𝟏. 𝟓𝟓 𝝅𝝅 由根与系数的关系，从而排除 A，D. 又有𝝎𝝎𝟑𝝎𝟕+ 𝝎𝝎𝟑𝝎𝟗+ 𝝎𝝎𝟕𝝎𝟗+ 𝝎𝟑𝝎𝟕𝝎𝟗= 𝝎 + 𝝎𝟑+ 𝝎𝟕+ 𝝎𝟗= 𝟏， 再排除 C， 故选：B. 2【．1995 高中数学联赛 （第 01 试） 】 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1， Z2， …， Z20，则复数𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,⋯，𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓 𝟏𝟐𝟐𝟎 所对应的不同的点的个数是() A.4B.5C.10D.20 【答案】A 【解析】解法 1 设𝒁𝟏= 𝐜𝐨𝐬𝜽 + 𝐢𝐬𝐢𝐧𝜽， 则𝒁𝒌= (𝐜𝐨𝐬𝜽 + isin𝜽)(𝐜𝐨𝐬 𝟐(𝒌−𝟏)𝝅 𝟐𝟎 ) + isin 𝟐(𝒌−𝟏)𝝅 𝟐𝟎 (𝟏 ⩽ 𝒌 ⩽ 𝟐𝟎)， 𝟑𝝅 𝟐 由𝟏𝟗𝟗𝟓 = 𝟐𝟎 × 𝟗𝟗 + 𝟏𝟓得𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓= (𝐜𝐨𝐬𝟏𝟗𝟗𝟓𝜽 + isin𝟏𝟗𝟗𝟓𝜽)(𝐜𝐨𝐬 𝒌 = (𝐜𝐨𝐬𝟏𝟗𝟗𝟓𝜽 + 𝐢𝐬𝐢𝐧𝟏𝟗𝟗𝟓𝜽)(−𝒊)𝒌−𝟏(𝒌 = 𝟏,𝟐,⋯,𝟐𝟎). 共有 4 个不同的值， 故选 A． 解法 2 不妨设𝒁𝟏,𝒁𝟐,⋯,𝒁𝟐𝟎为 1 的 20 个 20 次单位根， 则𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,⋯,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓 𝟏𝟐𝟐𝟎 必为 1 的 4 次单位根， + i𝐬𝐢𝐧 𝟑𝝅 𝒌−𝟏 𝟐 ) 𝟏𝟗𝟗𝟓 且不难得知𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓，𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,⋯,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓,⋯,𝒁𝟏𝟗𝟗𝟓 𝟏𝟐𝟐𝟎 包含了 1 的 4 个 4 次单位根，故𝒁𝟏 𝟐𝟐𝟎 所对应不同点的个数为 4. 1 3【．1994高中数学联赛 （第01试） 】 给出下列两个命题： (1)设a， b， c都是复数， 如果𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 𝒄𝟐， 则𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 𝒄𝟐 𝟎. (2)设 a，b，c 都是复数，如果𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 𝒄𝟐 𝟎，则𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 𝒄𝟐.那么下述说法正确的是() A．命题(1)正确，命题(2)也正确 B．命题(1)正确，命题(2)错误 C．命题(1)错误，命题(2)也错误 D．命题(1)错误，命题(2)正确 【答案】B 【解析】命题(1)是正确的.则𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 𝒄𝟐，表示𝒂𝟐+ 𝒃𝟐与 c2都是实数， 因此，根据移项法则有𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 𝒄𝟐 𝟎， 命题(2)是错误的. 仅表明𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 𝒄𝟐是实数，并不能保证𝒂𝟐+ 𝒃𝟐与 c2是实数，故𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 𝒄𝟐不一定成立. 例如，取𝒂 = 𝟐 + i,𝒃 = i,𝒄 = 𝟐√i， 则有𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 𝒄𝟐= (𝟑 + 𝟒𝒊) + (−𝟏) − 𝟒𝒊 = 𝟐 𝟎， 但并没有𝒂𝟐+ 𝒃𝟐= 𝟐 + 𝟒i 𝟒i = 𝒄𝟐. 𝟐 4【．1992 高中数学联赛 （第01 试） 】 设复数 z1， z2在复平面上的对应点分别为 A， B， 且|𝒛𝟏| = 𝟒,𝟒𝒛𝟐 𝟏 − 𝟐𝒛𝟏𝒛𝟐+ 𝒛𝟐= 𝟎. O 为坐标原点，则△OAB 的面积为() A．𝟖√𝟑 【答案】A 【解析】由已知得(𝒛𝟐− 𝒛𝟏)𝟐+ 𝟑𝒛𝟐 𝟏 = 𝟎，𝒛𝟐− 𝒛𝟏= ±√𝟑𝒛𝟏i. 故在复平面上等式两边的复数所对应的向量互相垂直，即𝑶𝑨 ⊥ 𝑨𝑩.如图. 故𝑺𝜟𝑨𝑩𝑪=|𝑶𝑨| ⋅ |𝑨𝑩| =|𝑶𝑨| ⋅ |√𝟑𝑶𝑨| =× 𝟒 × 𝟒√𝟑 = 𝟖√𝟑. 𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏𝟏 B．𝟒√𝟑C．𝟔√𝟑D．𝟏𝟐√𝟑 5． 【1991 高中数学联赛（第 01 试） 】设 a，b，c 均为非零复数，且 == ，则 𝒃𝒄𝒂 𝒂𝒃𝒄𝒂+𝒃−𝒄 𝒂−𝒃+𝒄的值为( ) A．1B．±𝝎C．𝟏,𝝎,𝝎𝟐 𝟏 𝟐 √𝟑 𝟐 D．𝟏,−𝝎,−𝝎𝟐，其中𝝎 = −+ 【答案】C i. 【解析】令 === 𝒕，则𝒂 = 𝒃𝒕 = 𝒄𝒕𝟐= 𝒂𝒕𝟑 𝒃𝒄𝒂 𝒂𝒃𝒄 由 a≠0，知 t3=1，因此，𝒕 = 𝟏,𝝎,𝝎𝟐. 利用比例性质，知原式等于 ，故当𝒕 = 𝟏,𝝎,𝝎𝟐时，原式分别取𝟏,𝝎,𝝎𝟐. 𝒕 𝟏 2 6． 【1990 高中数学联赛（第 01 试） 】设非零复数 x，y 满足 x +xy+y =0，则代数式( ) A．𝟐𝟏𝟗𝟖𝟗 【答案】B 【解析】令𝒚 = 𝝎𝒙(𝝎 ≠ 𝟏)，代入已知条件得𝟏𝝎𝝎𝟐= 𝟎， 所以(𝟏𝝎)(𝟏𝝎𝝎𝟐) = 𝟎，进而𝝎𝟑= 𝟏. 故原式= 𝟏 (𝟏𝝎) 𝟏𝟗𝟗𝟎 22 𝒙 𝒙𝒚 )𝟏𝟗𝟗𝟎( 𝒚 𝒙𝒚 )𝟏𝟗𝟗𝟎的值是( B．𝟏C．1D．以上答案都不对 𝝎𝟏𝟗𝟗𝟎 (𝟏𝝎) 𝟏𝟗𝟗𝟎 = 𝟏𝝎 𝟏𝟗𝟗𝟎 𝟏𝟗𝟗𝟎 (𝟏𝝎 𝟐) = 𝟏𝝎 𝝎𝟐 = 𝟏 . 7． 【1986 高中数学联赛（第 01 试） 】设 z 为复数，𝑴 = {𝒛|(𝒛 𝟏) 𝟐= |𝒛 𝟏| 𝟐}，那么(). A．M={纯虚数} 【答案】B ̅ 𝟏)，所以(𝒁𝟏)(𝒁𝒁 ̅)= 𝟎. 【解析】因为(𝒁𝟏)𝟐= |𝒁𝟏|𝟐，即(𝒁𝟏)𝟐=