含参不等式练习题与解法

众所周知，不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点，其中，含有参数的不等式的问题，是主考命题的热点，又 是复习提高的难点。（1）解不等式，寻求新不等式的解集； （2）已知不等式的解集（或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系），寻求新含参数的值或取值范围。 （3）注意到上述题型（2）的难度与复杂性，本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。 一、立足于“直面求解”一、立足于“直面求解” 解不等式的过程是一系列等价转化的过程，对于有关不等式的“解”的问题，直面不等式求解，有时是问题解决的 需要，有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后，方可延伸或突破时，则要果断 地从求解不等式切入。例例 1.1.设关于 x 的不等式 （1）解此不等式；（2）若不等式解集为（3，+∞），求 m 的取值范围； （3）若 x=3 属于不等式的解集，求 m 的取值范围 分析：着眼于不等式的等价变形，注意到这里 m20,m2同乘以不等式两边，则不等式转化为 axb 型，于是可以 x 的系数 a 的取值为主线进行讨论。 解：（1）由题设，原不等式m（x+2）m2+(x-3)(mR，m≠0) (m-1)xm2-2m-3(1)∴当 m1 时，由（1）解得 当 m=1 时，由（1）得 xR;当 m1 时，原不等式的解集为当 m=1 时，原不等式的解集为 R 当 mm2-2m-3m2-5m0(x+1)(x-2)0 x2 ∴不等式x2-x-20 的解集 A=（-∞，-1）∪ （2，+ ∞），显然-2∈A 不等式 2x2+(2R+5)x+5R0 且 1-a≠1 以下以 ①式左边多项式的根 （1）当 00又原不等式的解集为（-∞，1）∪（2，+∞） 注意到一元二次不等式解集端值必为相应方程的根 ∴∴所求 a 的取值范围为 点评：这里“化生为熟”的手段是“不等式的等价变形” 一般地，若一元二次不等式（ax+b）（cx+d）0的解集为（-∞，x 1）∪ (x2 ,+∞),则必需 （1）a·c0（2）x 1 为方程 ax+b=0 或 cx+d=0 的实根；x 2 为方程 ax+b=0 或 cx+d=0 的实根； 例例 2.2.若不等式 解:原不等式 的解集为(-3,-1) ∪[2,+ ∞）,求实数 a 的值 (x+a)(x2+4x+3) ≥0(x2+4x+3≠0)(x+1)(x+3)(x+a)≥0(x≠-1,且 x≠-3) f(x) ≥0 分析:对于这类不等式或比较复杂的分式不等式问题,例 2 的解题思路能起重要的启示作用. 设 f(x)=(x+1)(x+3)(x+a)(x≠-3 且 x≠-1)则原不等式 由题设知 x=2 为方程 f(x)=0 的根, ∴f(2)=0 2 2、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题，、化生为熟之二：转化为集合间的关系问题， 集合既是数学中的原始概念，又是数学问题的基本载体。同样，集合间的关系既是数学理论的基础，又是问题转化 的目标，关于两个不等式（或方程）的解的关系问题，向着集合间的关系问题转化，是化生为熟的主要方向之一。 例例 1.1.若对中的一切实数 a，满足不等式0 的解集与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根之间的关系，可使问题简单化。 范围。分析：注意到各不等式的解组成集合，为将已知的两不等式的“解”之间的关系转化为两个集合之间的关系， 首先从化简两个不等式的解集切入 解：设集合 A={x| |x-a|0,于是由(5)、（6）得 b 的取值范围为。 点评：当解题过程中出现二次三项式时，配方成为解题的基本方法与基本技巧。 例例 2.2.要使满足关于 x 的不等式 2x2-9x+a0∴对任意 xR 恒 对任意 xR 恒有 3x2+2x+2m（x2+x+1）成立 成立 对任意 xR 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)0 成立 注意到 mN*，∴m=1 立) （2）设 f(x)=|x+1|+|x-2|,则 f(x)m 对一切实数 x 恒成立 m0 的解集为（x 1, x2） ax2+bx+c0 的解集为（-∞, x 1）∪（x2,+∞） 于是由此不等式所含的数 解：设 t= 和 ax 想到：借助换元，将所给问题，转化为一元二次不等式问题。 (t≥0)的解集为（2， 的两根为 2， ） ，则 t≥0且原不等式 ∴由题设知关于 t 的不等式 ∴一元二次方程 ∴由韦达定理得 段. 由此解得∴ 点评：这里“化生为熟”的手段是“换元”，变量转换，是使问题完成从“无理”向“有理”的质的转变的重要手 例例 2 2．．定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数，又是减函数，当 x[0， 求 m 的取值范围. ]时，f（sin2x-msinx+m）+f(-2)0 恒成立， 分析：注意到这里含有抽象的函数符号“f”，故首先想到通过“反用”单调性的定义脱去“f”，将所给问题转化为 普通的不等式恒成立的问题；又注意到“f ”之下是关于 sinx 的二次三项式，为使有关不等式以及解题过程双双简明， 考虑第二次转化时运用变量转换. 解：由 f(x)为奇函数得-f(-2)=f(2)∴f(sin2x-msinx+m)-f(-2)当 x[0， f(sin2x-msinx+m)f(2)当 x[0， ]得 0≤t≤1 ]时恒成立① ]时恒成立 令 sinx=t,则由 x[0， ∴由①得 f(t2-mt+m)f(2) 当 t[0，1]时恒成立② 又∵f(x)在 R 上为减函数，∴由②得t2-mt+m0f(m)=(1-x2)m+2x-1 [-2，2]成立 则 f(m)为 m 的一次函数或常数函数，其几何意义为直线， 于是原不等式对任意 m ∴x∈ （i）当 1-x20 点评：上述解法的详细过程为分类讨论: -10 (ii)当 1-x20(-2≤m≤2)得 (iii)当 1-x2=0 x=±1 时当 x=1 时 f(m)=10当 x=-1 时 f(m)=-30 不成立, 综上(i)(ii)(iii)得所求的 x 的取值范围为 例例 2.2. 已知对于满足 p=16sin3α,且 α[-,]的所有实数 p,不等式 log 2 2x+plog 2x+12log2x+p 恒成立,求实数 x 的取值范围.分析:由题设易得 p[-2,2],所给不等式为 log 2x 的二次不等式,也可视为 P 的一次型不等式,由此想到以 P 为主元考察并转化问题.解：由 P=16sin3α, 又不等式 log 2 2x+plog 2x+12log2x+p （log 2x-1）P+（log2 2x- 2log 2x+1）0 (以 P 为主元) ② ① log 2 2x+(P-2) log 2x+(1-P)0 (以 x 为主元) 设 f(p)=(log 2x-1)p+(log2x-1) 2③ 注意到当 log 2x=1 即 x=2 时原不等式不成立 故 f(p)为 p 的一次函数，并且由①②得所给问题等价于 f(p)在区间[-2，2]上恒大于 0 ∴所求实数 x 的取值范围为 故这里 x≠2，即这里的 f(p)不存在为常数求的情形 若 a,b[-11]且 a≠b，则有 （2）解不等式 （1）判断 f(x)在区间[-1，1]的