向量的线性相关性

第六讲向量的线性相关性 第六讲 向量的线性有关性 教课目标 ： 1.介绍向量及其线性运算； 2.解说向量的线性有关性的观点及鉴别法；这是要点中之要点。 教课内容 ： 第三章向量的线性有关性与秩：§3.1 n 维向量及其线性运算； § 教材有关部分 ： 向量的线性有关性 第三章向量的线性有关性与秩 § n 维向量及其线性运算 一、 n维向量的观点 在中学物理中， 力是一个有方向的量。 假如让全部的力都从原点发出， 决定其性质的便只有方向和 大小两个因素了。还有位移、速度、加快度等等，也都是同时拥有大小和方向两个因素的量。 这类量称为 向量 ，能够用点的坐标来表示。 一个实数，是一维坐标，也表示一个实数轴上的向量， 其为 一维（实）向量 （如图）。一维向量的全体，记作 如 5，也表示从 0 到 5 的一个向量，称 R1x | xR , 即实数轴。 x ‘‘‘‘‘‘‘‘‘ -101234567 (图 3.1) 一对实数，是二维坐标，也表示一个实平面上的向量，比如（ 的一个向量，称其为二维（实）向量 1，2）也表示从原点到点（1，2） （如图）。二维向量的全体，也就是二维实平面，记作 R 2 ( x1 , x2 ) | x i R 。 三元实数组 (i , j , k)，是一个三维坐标，也表示一个三维（实）向量（如图）。三维向量的 全体，记作 R 3 y 2 ( x1 , x2 , x3 ) | x i R ，就是立体几何中的三维实空间。 k (1,2) x3 (i , j , k ) 0 01x j x2i x1 ( 图 3.3 )（ 图 3. 2 ） 一般地我们有： 1 / 9 第六讲向量的线性相关性 定义3.1 由 n 个数构成的 n 元有序数组 ( x1, x2, 的第 i个重量。假如n个重量都是实数，便称为 向量往常记作 X ( x1 , x 2 , , xn ) ，称为一个 n维向量，此中 xi称为它 n 维实向量。 , xn ) 或 (a 1 , , an ) 。全体 n维实向量的会合记作 R n X( x1 , x2 , , xn ) | x i R 。(3.1) 此后如不加说明，本书中所说的向量都指实向量。 n 维向量也能够写成列的形式，如 x1 X xn y1 、 Y、 a 1 a n 等，可是行的形式和列的形式不可以混写。 y m 0 （0, ,0 ）或 0 。特别地，将全部重量全为0 的向量称为零向量，记作 我们规定：两个向量相等 ，当且仅当两者的全部重量一一对应相等。写作： XY 当且仅当 1 0、Y 0y m y1 、X i, xi y i 。 x1 、 f ( X ) f1 ( X ) f m ( X ) 例 3.1e1、v (3, 1)、 2 (0, 1, 0) 、 xn ＝ (a 1 , a2 , ,an ) ，分别是三维、 m维、n维、m维、二维、三维、 n维（列或行）向量。而 Y f ( X ) 则意味着 yi 的多元映照。 f i ( X ) fi ( x1 , , xn ), i 1,2, , m ，即由 m个 n元函数构成的一个从向量到向量 二、向量的线性运算 x1 设 X、 Y y1 yn x1 X Y xn 定义为两个 n维实向量， k, l R 为随意实数，定义向量的加 xn y1 、kX kx1 。法和数乘为：(3.2 ) ynkxn kx1ly 1 或许更一般地，将两个定义式合写作 kX lY kxn (3.3 ) ly n 称为向量 X和 Y的线性运算 。当 k l1 或 l 0 时，（ ）式便分别是 (3.2)的两个式子。 2 / 9 第六讲向量的线性相关性 简单考证，线性运算知足以下运算律（ ,,R n 、 k, l R）： (1) (2 ) ( (3 ) (4 ) (5 ) (6 ) ； ) (0, ( ,0) )； R n ，称为 零元 ， R n ，恒有； ； R n , ( Rn , 1 )R n ，称为的负元，知足( ) ； kk ；k (l )( kl )； ) l ) k k k ； l 。 (7 ) k ( (8 ) (k 这八条运算律表达了线性运算的规范性。 1 设 X 1 、 Y例1 1 0 2 ，求 XY,3X,2X 1 3 3Y。 5 3Y8 。 5 解： XY1, 0 3X3 ，而 2X 3 2 例 设 1 (2, 5, 1, 3) 、 )5( 3 6 (10, 1, 5, 10) 、 3 (4, 1, 1, 1) ，而向量知足方程 3( 1 )2(2)，求。 3 1 解据运算律得： 三、线性组合与线性表示 2 2 5 3 (6, 12, 18, 24) ，故(1, 2, 3, 4)。 定义3.3 设1 2 , , , c1 k 为一组 n维向量， c1 ,c2 , 1 , c k 为一组实数， 1 2 , , , k 的一个 线性组合就是线性运算式 c2 2 ck k ，称 c1 , c2, ,c k 为组合系数。若将运算结果 记为 c c 1 12 2 ck 4 1 k ，则说能够由 1 2 , , , k 线性表示（线性表出） 。 1 0 、 1 2 2 1 例 3 、 5 1，问：可否由 1,2 线性表示？ 3 / 9 第六讲向量的线性相关性 1 ，即 x1 0 2 x2 1 1 4 3 ，据向量线性运算和相 5 解设有 x1 , x2，使 x1 1 x2 2 1 等的定义，得线性方程组 x12x2 0 x2 x1x2 方程组的解就是所求的表示系数。 4 3 ， 5 简单解出 x1 2, x 2 3 ，故能由 1 , 2 线性表示，表示式为： 2 1－32。 §向量的线性有关性 一、线性有关与线性没关 上一节依照向量的线性运算，定义了向量的线性组合 和线性表示 的观点，这使向量集 R 中的 n 向量相互之间拥有了一种关系。这类立足于线性运算和线性表示基础上的关系，称为线性关系 。 定义 设 1 , 2 ,, n s 为 R 中的一组向量 ( s1) ，若此中起码有一个向量能够由其他的 s1 个向量线性表示，则说它们线性有关；不然的话，说它们线性没关。 线性没关也就是线性独立，亦即任一直量不可以由其他向量的线性组合来代替。 1 例设 1 2 2 4 3 0, 1 1, 1 3 ，则有 5 3 2132（拜见例），可知这 三个向量是线性有关的。 而若设 1 (1,0), 2 (0,1) ，简单看出，这两个向量相互不可以线性表示，它们是线性没关的。 二、有关性的判断 按定义 3.4 来判断一组向量的有关性比较麻烦，下边是一个便于操作的充要条件： 定理设 1 , 2 ,, s 为 Rn 中的一组向量，它们线性有关当且仅当存在一组不全为零的 数 k1 ,k 2 , , ks，使知足方程 k 1 1 k 2 2 ks s。 (3.7) 证必需性：设 1,2 , 性表示，不如设 1 可表示为 , 1 s 线性有关，则此中起码有一个向量能够由其他的 s 1 个向量线 k 2 2 ks s ，于是便有 4 / 9 第六讲向量的线性相关性 1 k2 2 k s s ， 此式