加乘原理

精锐教育学科教师辅导讲义精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：学员编号：年年级：级： 小五小五课课 时时 数：数：3 3 学员姓名：学员姓名：辅导科目：辅导科目： 数学数学学科教师：王引学科教师：王引 授课类型授课类型加法原理加法原理乘法原理乘法原理 教学目标教学目标 1.使学生掌握加法原理的基本内容；掌握加法原理的运用； 培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则。 2. 使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系； 培养学生准确分解步骤的解题能力。 授课日期及时段授课日期及时段 教学内容教学内容 【本讲知识点】【本讲知识点】 1、加法原理概念：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种 不同做法，…，第 k 类方法中有 m k种不同做法，则完成这件事共有 N  m 1  m 2 …… m k种不同方法，这就是 加法原理。 2、加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以 使用加法原理解决。我们可以简记为： “加法分类，类类独立” 。 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要 注意满足两条基本原则： ①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； ②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。 只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确。 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数。通俗地说，就是“整体等于局部之和”。 3、加法原理解题三部曲： ①完成一件事分 N 类； ②每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）； ③类类相加。 wy1 一、专题精讲一、专题精讲 例 1：从 1～10 中每次取两个不同的数相加，和大于10 的共有多少种取法？ 例 2：甲、乙、丙三个工厂共订 300 份报纸，每个工厂至少订了 99 份，至多 101 份，问：一共有多少种不同的订 法？ wy2 例 3：一次，齐王与大将田忌赛马．每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次比赛马的出场顺序依次为一等， 二等，三等，四等，而且还知道这八匹马跑的最快的是齐王的一等马，接着依次为自己的一等，齐王的二等，自 己的二等，齐王的三等，自己的三等，齐王的四等，自己的四等．田忌有________种方法安排自己的马的出场顺 序，保证自己至少能赢两场比赛． 例 4：袋中有 3 个红球，4 个黄球和 5 个白球，小明从中任意拿出6 个球，他拿出球的情况共有________种可能． 例 5：1995 的数字和是 1＋9＋9＋5=24，问：小于 2000 的四位数中数字和等于24 的数共有多少个? wy3 例 6：在四位数中，各位数字之和是4 的四位数有多少？ 例 7：A、B、C 三个小朋友互相传球，先从A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了 5 次传球后，球恰巧又回到 A 手中，那么不同的传球方式共多少种？ 例 8：如图所示，沿线段从A 到 B 有多少条最短路线？ EC F A B D G wy4 例 9：如图所示，从 A 点到 B 点，如果要求经过 C 点或 D 点的最近路线有多少条？ wy5 例 10：一楼梯共 10 级，规定每步只能跨上一级或两级，要登上第10 级，共有多少种不同走法？ 二、专题过关二、专题过关 检测题 1：从 1～8 中每次取两个不同的数相加，和大于10 的共有多少种取法？ 检测题 2: 大林和小林共有小人书不超过9 本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？ wy6 检测题 3：一把硬币全是 2 分和 5 分的，这把硬币一共有1 元，问这里可能有多少种不同的情况？ 检测题 4：2007 的数字和是 2+0+0+7=9，问：大于 2000 小于 3000 的四位数中数字和等于9 的数共有多少个? 检测题 5：一只青蛙在A，B，C 三点之间跳动，若青蛙从A 点跳起，跳4 次仍回到 A 点，则这只青蛙一共有多少种 不同的跳法？ wy7 检测题 6：如图1为一幅街道图，从A出发经过十字路口B，但不经过C走到D的不同的最短路线有条. D B A C 图 1 检测题 7：1××2 的小长方形(横的竖的都行)覆盖 2×10 的方格网，共有多少种不同的盖法． 三、学法提炼 加法原理解题常用方法总结 1.枚举法： 枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数。 分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法。枚举的时候要注意顺序，这 样才能做到不重不漏。 2.树形图法： “树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗 漏，使人一目了然。 3.标数法： 适用于最短路线问题，需要一步一步标出所有相关点的线路数量，最终得到到达终点的方法总数。标数法是加法 原理与递推思想的结合。 4.简单递推（斐波那契数列的应用） ： 斐波那契数：数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定 义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*） 对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前 面的数求出后面的数，这种方法称为递推法。 wy8 【本讲知识点】【本讲知识点】 1、乘法原理概念：完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤，第1 步有 A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有 N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N 种不同的方法。 2、乘法原理解题三部曲： ①完成一件事分 N 个必要步骤； ②每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）； ③步步相乘。 3、乘法原理的考题类型： ①路线种类问题； ②字的染色问题； ③地图的染色问题； ④数码问题—-就是对一些数字的排列； ⑤排队问题。 一、专题精讲一、专题精讲 例 1：邮递员投递邮件由A 村去 B 村的道路有 3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条，那么邮递员从 A 村经 B 村去 C 村，共有多少种不同的走法？ 北北 A 中中 南南 B 2号路号路 1号路号路 C 例 2：在右图中，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不 同走法？ A CD B wy9 例 3：小丸子有许多套服装，帽子的数量为5 顶、上衣有 10 件，裤子有 8 条，还有皮鞋 6 双，每次出行要从几种 服装中各取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)？ 例 4： “数学”这个词的英文单词是“MATH” ．用红、黄、蓝、绿、紫五种颜色去分别给字母染色，每个字母染的 颜色都不一样．这些颜色一共可以染出多少种不同搭配方式？ 例 5：如图，地图上有A，B，C，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种 不同染色方法? A B C D wy10 例