全国大学生数学建模2015年国二a题

20152015 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承承诺诺书书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮 件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问 题。 我们知道， 抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公 开的资料 （包括网上查到的资料） ， 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引 用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反 竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行 公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表 等） 。 我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写） ：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ： 所属学校（请填写完整的全名） ： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ： 编编 号号 专专 用用 页页 评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号） ： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用） ： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号） ： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号） ： 太阳影子定位 摘要摘要 本文研究了太阳影子定位问题，基于天球坐标系相关知识、球面几何理论以 及相似度理论，对不同情况下的数据，建立了相应的数学模型并得到了最优的匹 配地点与日期。 问题 1 中，利用球面三角形余弦定理给出了太阳高度角公式，并建立了影子 长度变化的数学模型，定性的分析了影子长度关于时角、当地纬度以及赤纬角的 变化规律：(1). 时角的绝对值越大，影子长度越大；(2). 在同一经度上（即时角 一定） ，当地纬度与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度越大；(3). 在同一纬度不 同经度上，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度越大。用 所建的模型，得到了 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 问题 2 中，由太阳高度角、方位角、时角、赤纬角之间的关系，建立了杆的 高度、太阳高度角、太阳方位角等变量间的方程组，推导出影子的长度与太阳高 度角满足的方程，该方程不依赖于杆的高度、坐标系的选取。利用附件 1 的数据 并结合遍历相关知识，给出了最优匹配地点：最优地点为北纬 24 度，东经 100 度， （云南省沧市临翔区） ；次优地点为北纬18 度，东经110 度（海南省三亚市） 。 问题 3 中，在问题 2 模型的基础上，对未知日期引入了日期参数，导出了相 应的优化模型。由附件 2 的数据得出了最优匹配日期和地点：7 月 10 日，北纬 41 度，东经 80 度，新疆维吾尔自治区阿克苏地区乌什县。由附件 3 的数据得出 了最优匹配日期和地点：3 月 02 日，北纬 37 度，东经 110 度，陕西省延安市延 川县。 问题 4 中，给出了杆的高度的近似值，我们修正了问题 3 中的模型，在优化 模型中，引入了变量h。对视频进行逐针读取，再灰度化处理，利用 Photoshop 软件得到了影子坐标的和杆的坐标的像素，由它们之间的比例关系，得出了相应 的坐标。利用坐标数据和杆的近似高度，通过优化模型，经过 Matlab 遍历，得到 了最优的拍摄地点：最优的为北纬 40 度，东经 113 度，山西省大同市南郊区；其 它次优的为北纬 44 度，东经110 度，蒙古；北纬39 度，东经110 度 ，陕西省榆 林市神木县；北纬39 度，东经111 度，陕西省榆林市府谷县；北纬39 度， 东经 112 度，山西省忻州市神池县；北纬 40 度，东经 114 度，河北省张家口市阳原县； 北纬 41 度，东经 115 度，河北省张家口市崇礼县。如果拍摄日期未知，最优的拍 摄地点为北纬 40，东经 115，河北省张家口市蔚县，日期为 6 月 22 日。 同时，我们也提出了分光理论，并建立了相应的模型和数学推导。由于时间 的限制，不能完善该模型。针对问题二、三、四，提出了影子弧线的相似度模型。 由于提取数据的误差，可能使得我们的计算结果与实际地点有稍许偏差。 关键字关键字: :太阳影子定位，天球坐标系，遍历，时角，赤纬角，太阳高度角，太阳 方位角 1 1. 问题重述 太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄 的地点和日期的一种方法。 1.1 问题一有两部分组成： （1） ：确定影子长度变化数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律。 （2） ： 用已建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安 门广场（北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影 子长度的变化曲线。 1.2 问题二有两部分组成： （1）：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型 确定直杆所处的地点。 （2） ：将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 1.3 问题三有两部分组成： （1） ：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模 型确定直杆所处的地点和日期。 （2） ：将所建的模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出 若干个可能的地点与日期。 1.4 问题有三部分组成： （1） ：根据附件 4 一根直杆在太阳下的影子变化视频，建立确定视频拍摄地 点的数学模型。 （2）：应用已建立的模型给出若干个可能的拍摄地点。 （3）：如果拍摄日期未知，根据视频确定出拍摄地点与日期。 2. 模型假设 （1） ：地球是球体； （2） ：直杆影子长度为直线段长度而非弧长； （3） ：到达地球的太阳光线为平行光线； （4） ：太阳高度角为太阳光的入射方向与入射点切平面（地平面）的夹角； （5） ：假设地面无障碍物，直杆影子都投影在一个平面上； （6） ：假设附件 4 中拍摄角度对所提取的影长无影响； （7） ：假设一天当中太阳赤纬角不变； 2 3. 符号说明 表表 3.13.1 符号说明表符号说明表 h直杆长度 直杆影子长度 太阳高度角 当地太阳时 时角 赤纬角 光线与直杆的夹角 当地维度 当地经度 r  t s   A   注：规定北纬为正，南纬为负 4. 模型建立及求解 4.1 问题一的分析 影子的长度主要依赖于两个因素，即直杆的长度和当地的太阳高度角。由推 导可得，太阳高度角又依赖于当时的太阳赤纬，时角和当地的纬度。易知当地的 纬度和时角；又可知赤纬角由日期确定，注意我们假设一天当中的赤纬角是不变 的。 4.1.1 问题一模型的建立及求解 直杆高度、太阳高度角及影子长度三者有如下关系： rh tan (4.1) 其中，r为影子长度，h为直杆高度，为太阳高度角，其关系如图 4.1 所示。 3 图图 4