初中数学一题多解题

. 初中数学一题多解题初中数学一题多解题 例题一例题一、两个连续奇数的积是 323，求出这两个数 方法一、 设较小的奇数为 x,另外一个就是 x+2 x(x+2)=323 解方程得：x1=17,x2=-19 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法二、 设较大的奇数 x,则较小的奇数为 323/x 则有：x-323/x=2 解方程得：x1=19,x2=-17 同样可以得出这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法三、 设 x 为任意整数，则这两个连续奇数分别为： 2x-1,2x+1 (2x-1)(2x+1)=323 即 4x^2-1=323 x^2=81 x1=9,x2=-9 2x1-1=17,2x1+1=19 2x2-1=-19,2x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 方法四、 设两个连续奇数为 x-1,x+1 则有 x^2-1=323 x^2=324=4*81 x1=18,x2=-18 x1-1=17,x1+1=19 x2-1=-19,x2+1=-17 所以，这两个奇数分别是： 17、19，或者-17，-19 例题二、例题二、某人买 13 个鸡蛋、5 个鸭蛋、9 个鹌鹑蛋，共用去 9.25 元；如果买 2 个鸡蛋，4 个鸭蛋，3 个鹌鹑蛋，则共用去 3.20 元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少 .w . 钱？ 解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x、y、z 元，则根据题意，得  13x 5y  9z  9.25 . 2x  4y  3z  320 1  2  分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x、 y、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x  y  z的代数和，因此，我们可通过变形变换 得到多种解法。 1. 凑整法 解 1： 1   2   3  3 3 ，得5x  3y  4z  415.  2   ，得7(x  y  z)  7.35 x  y  z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05 元（下面解法后的答均省略） 解 2：原方程组可变形为  13(x  y  z) 4(2y  z)  9.25 2(x  y  z)  (2y  z)  320 . 解之得：x  y  z  105 . 2. 主元法 解 3：视 x、y 为主元，视 z 为常数，解、 得x  05 . 05 . z，y  055 .05 . z x  y  z  055. 05 .  z  z  105. 解 4：视 y、z 为主元，视 x 为常数，解、 得y  0.05 x，z  1 2x x  y  z  105. x  2x  x  105. 解 5：视 z、x 为主元，视 y 为常数，解、 得x  y  0.05，z  11 .  2y x  y  z  y 0.05 y 11 . 2y  105. 3. “消元”法 解 6：令x  0，则原方程组可化为  5y  9z  9.25 4y  3z  32 .    y  0.05 z  1 x  y  z 105. 解 7：令y  0，则原方程组可化为   13x  9z  9.25x  0.05 2x  3z  320 .  z  11 . x  y  z 105. .w . 解 8：令z  0，则原方程组可化为  .13x 5y  9.25x  05  2x  4y  320y  055 x  y  z 105. 4. 参数法 解 9：设x  y  z  k，则 13x 5y  9z  9.25  2x  4y  3z  320 . x  y  z  k  1  2   3 1   2  3，得x  y  0.05  4   3 3  2 ，得x  y  3k  32 . 由、得3k 32 .  005. k  105. 即x  y  z  105 . 5. 待定系数法 解 10. 设  5  x  y  z  a(13x 5y  9z) b(2x  4y  3z)  (13a  2b)x  (5a  4b)y  (9a  3b)z1 则比较两边对应项系数，得 13a  2b  1 a 1  21 5a  4b  1   4 9a  3b  1b    21 将其代入中，得 x  y  z  141  9.25 32 .  22.05  105. 212121 附练习题 1. 有大小两种货车，2 辆大车与 3 辆小车一次可以运货 15.5 吨；5 辆大车与 6 辆小车一 次可以运货 35 吨。求 3 辆大车与 5 辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5 吨） 2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3 件、乙7 件、丙1 件共需 3.15 元；若购甲4 件、乙 10 件、丙 1 件共需 4.20 元。问若购甲、乙、丙各1 件共需多少元？（答案：1.05 元） 平面几何 .w . 在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一 步的探讨， 以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进 行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”， 必将使人受益匪浅。 “一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论； 3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例； 6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。 .w . 19、 （增加题 1 的条件）AE 平分∠BAC 交 BC 于 E， 求证：CE：EB=CD：CB 20、 （增加题 1 的条件）CE 平分∠BCD，AF 平分∠BAC 交 BC 于 F .w . 求证： （1）BF·CE= BE·DF （2）AE⊥CF （3）设 AE 与 CD 交于 Q，则 FQ‖BC 21、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以 CD 为直径的圆交 AC、BC 于 E、F， 求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和 16 题有无联系） 22、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，以AD 为直径的圆交 AC 于 E，以 BD 为直径的圆交 BC 于 F， 求证： EF 是⊙O1 和⊙O2 的一条外公切线 23、已知，△ABC 中，∠ACB=90 度，CD⊥AB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以 CD 为弦的圆 O2， 求证：点 A 到圆 O2 的切线长和 AC 相等（AT=AC） .w . 24、已知，△ABC 中，∠