《勾股定理》典型练习题

第1页—总15页 《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形 的两直角边为 a、b，斜边为 c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC 的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三 角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数 或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9， 12，15 ) 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积： （1）阴影部分是正方形； （2）阴影部分是长方形； （3）阴影部分是半圆． 第2页—总15页 2. 如图， 以 Rt△ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆， 试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S 1、S2、S3，则 它们之间的关系是（ ） A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31） ，那么它的斜边长是（ ） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、1n2 7、在 Rt△ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A. 222abc B. 222acb C. 222cba D.以上都有可能 8、已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则 Rt△ABC 的面积是（ ） A、24 2cm B、36 2cm C、482cm D、602cm 9、已知 x、y 为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三 角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5 B、25 C、7 D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图 1 所示，等腰中，，是底边上的高，若， 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 第4页—总15页 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 2、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中： ①△ABC 中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC 中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC 中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC 中，三边长分别为 8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（ ） ． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4、若三角形的三边之比为 21 ::1 22 ，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰直角三角形 D. 不等边三角形 5、已知 a，b，c 为△ABC 三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7、若△ABC 的三边长 a,b,c 满足 222abc20012a16b20c，试判断△ABC 的形状。 8、△ABC 的两边分别为 5,12， 另一边为奇数， 且a+b+c是 3 的倍数， 则 c 应为 ， 此三角形为 。 第5页—总15页 例 3：求 （1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。 （2）已知三角形三边的比为 1：3：2，则其最小角为 。 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，，，因某种活动要求 铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ． 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想） １、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下 端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 2、一架长 2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底 0.7m（如图） ，如果梯 子的顶端沿墙下滑 0.4m，那么梯子底端将向左滑动 米 A B C 第6页—总15页 3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如 果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离 1 米， （填“大于” ， “等于” ， 或“小于” ） 4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；•另外 一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试 问这棵树有多高？ 5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 . 60 1 2 0 140 B 6 0 A C 第 5 题图 7 8 6 C A D B 第7页—总15页 6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米． 7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走 8km，又往北走 2km， 遇到障碍后又往西走 3km，再折向北方走到 5km 处往东一拐，仅 1km•就找到了宝藏，问：登 陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？ 考点七：折叠问题 1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合， 折痕为 DE，则 CD 等于（ ） A. 4 25 B. 3 22 C. 4 7 D. 3 5 2、如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交 BC•于 M，交 AB 于 N，若 AC=4， MB=2MC，求 AB 的长