《二次根式》教材分析
《二次根式》教材分析1 一、本章地位与作用 本章内容属于“数与代数”的基础内容，既是“整式” 、 “分式”之后引入的第三类重要代数式，也是 “实数”之后对“数”的认识的深化．本章内容具有极强的“工具性” ，教材中安排本章在“勾股定理”之 后、 “二次方程”之前，意在为解二次方程做好准备；本学期安排本章在“勾股定理”之前，能为解任意直 角三角形的三边数值扫清障碍． 整式 数 式 算术平方根 勾股定理 （解直角三角形） 一元二次方程 分式 二次根式 )0(aa 应用 二、知识网络归纳 性质 最简二次根式 二次根式 )0(aa 定义 乘除运算 加减运算**同类二次根式 三、课标及中考要求 【课标要求】 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会 用它们进行有关的简单四则运算． （不要求进行根号下含字母的二次根式的四则运算，如 3a b， 2 b a b a 等． ） 【中考要求】 考试要求 A B 二次根式 及其性质 了解二次根式的概念， 会确定二次根式有意义的条件 能根据二次根式的性质对代数式作简单 变形；能在给定条件下，确定字母的值 二次根式的 化简和运算 理解二次根式的加、减、乘、 除运算法则 会进行二次根式的化简，会进行二次根式 的混合运算（不要求分母有理化） 1 参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。 四、课时安排建议 21．1 二次根式 约 2 课时 21．2 二次根式的乘除 约 2 课时 21．3 二次根式的加减 约 3～4 课时 数学活动与小结 约 2 课时 五、全章教学建议 1． 注意本章内容的“工具性” ．二次根式相关知识的学习是为后续勾股定理、二次方程的学习打基础， 因此应重点落实二次根式的性质、化简和计算（特别是实数的化简和计算）的准确性，提高学生的计算能 力．尽管课本中的例题相对简单，但不要忽视它们在学生建立知识结构的过程所起的过渡作用． 非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧的内容（如分母有理化等） ，相应地，学探诊测试 6 第 6 题及之后的题目可不作为基本教学要求． 2． 从提出二次根式的概念开始，就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念．避免教 材第 7 页小贴士“在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数”给学生带来的误解和误导．总 有为数不少的学生将二次根式有意义的“非负性”条件误记为“正性”条件，可能与此有关． 3． 注意对“实数”一章知识的复习，体现“数式通性”的原则；注意与“整式” 、 “分式”相关知识 的联系，相关结论可以类比记忆． 4． 注意教材和学探诊中，有些题目需要用到勾股定理，可先回避． 六、各小节教学建议 21．1 二次根式 （1）实例引入，注意复习开平方、算术平方根的概念和符号表示． （2）二次根式的形式定义： 建议不要把精力放在辨别一个式子是否为二次根式上，而应该侧重于理解被开方数是非负数（不要误 记为正数）的要求． 例如，2是二次根式吗？按本人的理解，2作为单独一个数应属于单项式，非二次根式． 学探诊 92 页第 6 题：下列各式中，一定是二次根式的是： （A） 23 （B） 2( 0.3) （C）2（D）x， 答案 B．本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义的是” ． 总之，真正该提醒学生的是“数式通性” ：如果被开方数是一个常数，那么它不可以是负数；如果被开 方数含字母，那么它有取值范围的限制（与分式类似） ． （3）二次根式（根号）的双重非负性： )0( , 0aa ； （4）教材要求掌握的公式： 2() (0)aaa ， 2 (0)aaa ， 建议授课时提高要求，理解并掌握 )0( )0( 2 aa aa aa ． ➢ 2a 与 2)( a 的对比： ① 运算顺序不同： 2)( a 是先求算术平方根再平方， 2a 是先平方再求算术平方根； ② a的取值不同： 2)( a 中a的取值是0a，而 2a 中a的取值是任意实数； ③ 运算结果不同： 2)( a =a（0a）； 2a = )0( )0( || aa aa a ． （5）代数式的概念：建议适当补充一些代数式的书写规范（如果之前没有讲过） ． 例1 ：当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） 1x ； （2） 1x ； （3） 1 1x ； （4） 1 1x ． 答案： （1）1x ； （2）1x ； （3）1x ； （4）0 x 且1x ． 提高题：求下列函数解析式中自变量x的取值范围： （1）2yx－ x23 ； （2）yx－ 1 1x ； （3） 21 || 2 x y x ； （4） 2 22yxx． 答案： （1） 3 2 2 x ； （2）0 x 且1x ； （3） 1 2 x 且2x ； （4）全体实数． 例2 ：若 x、y 为实数，且 y＝ 2x ＋ x2 ＋3．求 yx的值． （yx=9） 例3 ：判断下列等式是否成立： (1) 2( 19)19() (2) 2(19)19() (3) 2( 19)19() (4) 2 ()abab (5) 2()()abab (6) 2(0)().aaa 答案： （1）√； （2）×； （3）√； （4）√； （5）×； （6）√． 例4 ：已知cba,,为三角形的三边，则 222)()()(acbacbcba = ． （abc） 21．2 二次根式的乘除 （1）从具体到抽象，归纳得出乘法公式： (0,0)abab ab ➢ 理解二次根式乘除运算法则的合理性：可与() nnna bab 做形式上的类比； ➢ ***可以利用算术平方根的定义进行推理证明： ∵ 222 ababab 且 0,0ab ，∴ abab ． ➢ 从公式的适用范围看，包括了某些字母取 0 的情况； 为降低难度，如果遇到纯二次根式化简问题，可以默认为字母都表示正数； 当涉及字母的取值范围问题时，不能认为字母都是正数． （2）公式的逆用： )0, 0(babaab ；． ➢ 能利用这条性质对二次根式进行化简．注意学生不易理解“开得尽方的因数或因式”的含义， 教 材在第 8 页小贴士的解释：可以开方后移到根号外的因数或因式．在这里，不妨多举一些例子， 让学生明确在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，然后再将能开得尽方的因数 或因式开出来． ➢ 初步总结乘法运算的结果应满足以下两个要求： ①结果是一个二次根式，或单项式乘以二次根式；也可能没有根号，只是单项式；②根号下不再 有 “开得尽的因数或因式”． （3）除法公式及逆用：(0,0) aa ab bb ，)0, 0(ba b a b a ➢ 注意0b 的条件； ➢ 可以通过归纳、或证明、或类比 n n n aa bb 得出此公式； ➢
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