《一元二次方程的解法》经典例题精讲

《一元二次方程的解法》经典例题精讲 例 1 解方程025x2． 分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好． 解：025x2， 25x2， 25x ，x＝±5． ∴ 5x5x 21  ， ． 例 2 解方程 2)3x( 2  ． 分析：如果把 x＋3 看作一个字母 y，就变成解方程 2y2 了． 解： 2)3x( 2  ， 23x， 23x23x，或， ∴ 23x23x 21 ， ． 例 3 解方程 081)2x(4 2  ． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法 较好． 解： 081)2x(4 2  整理， 81)2x(4 2  ， 4 81 )2x( 2  ， 2 9 2x ， ∴2 5 x 2 13 x 21 ， ． 注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解； 若ax2，则 ax ；若 b)ax( 2  ，则 abx ． 例 4 解方程02x3x2． 分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解． 解法一： 02x3x2， (x－2)(x－1)＝0， x－2＝0，x－1＝0， ∴ 2x1x 21  ， ． 解法二： ∵a＝1，b＝－3，c＝2， ∴ 01214)3(ac4b 22  ， ∴2 13 x   ． ∴ 1x2x 21  ， ． 注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c 的值， 先计算“△”的值，若△0，则方程无解，就不必解了． 例 5 解关于 x 的方程 0n)nm2x3(mx 22  ． 分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程 为关于 x 的方程，即 x 为未知数，m，n 为已知数．在确定0ac4b2的情况下， 利用公式法求解． 解：把原方程左边展开，整理，得 0)nmnm2(mx3x 222  ． ∵a＝1，b＝－3m， 22 nmnm2c， ∴ )nmnm2(14)m3(ac4b 2222  22 n4mn4m 0)n2m( 2  ． ∴2 )n2m(m3 x 2   2 )n2m(m3  ． ∴ nmxnm2x 21 ， ． 注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都 要先把方程化为一般形式，确定a、b、c 和ac4b2的值，然后求解．但解字母 系数方程时要注意： (1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程； (2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、c 相 混淆；(3)在ac4b2开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包 括了这两种可能，因此， )n2m()n2m( 2  ． 例 6 用配方法解方程x73x2 2 ． 分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身 重要，要记住． 解：x73x2 2 ， 0 2 3 x 2 7 x2 ， 0 2 3 4 7 4 7 x 2 7 x 22               ， 16 25 4 7 x 2        ， ∴4 5 4 7 x ． ∴2 1 x3x 21  ， ． 注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为 1，方程左边只有二 次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左 边就配成了一个二项式的完全平方． 例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)04x3x2 2 ；(2) y249y16 2  ；(3) 0 x7) 1x(5 2  ． 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac4b2的值的 符号就可以了． 解： (1)∵a＝2，b＝3，c＝－4， ∴ 041)4(243ac4b 22  ． ∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵a＝16，b＝－24，c＝9， ∴ 09164)24(ac4b 22  ． ∴方程有两个相等的实数解． (3)将方程化为一般形式0 x75x5 2 ， 05x7x5 2 ． ∵a＝4，b＝－7，c＝5， ∴ 554)7(ac4b 22  ＝49－100 ＝－510． ∴方程无实数解． 注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a、b、c 的符号． 例 8 已知方程06kxx5 2 的一个根是 2，求另一根及 k 的值． 分析：根据韦达定理a c xx a b xx 2121 ， 易得另一根和 k 的值．再是根 据方程解的意义可知 x＝2 时方程成立，即把 x＝2 代入原方程，先求出 k 值，再 求出方程的另一根．但方法不如第一种． 解：设另一根为 2 x ，则 5 6 x2 5 k x2 22 ， ， ∴5 3 x 2  ，k＝－7． 即方程的另一根为5 3  ，k 的值为－7． 注意：一元二次方程的两根之和为a b  ，两根之积为a c ． 例 9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x3x2 2 两根的 (1)平方和；(2)倒数和． 分析：已知2 1 xx 2 3 xx 2121 ， ．要求(1) 2 2 2 1 xx ，(2) 21 x 1 x 1  ， 关键是把 2 2 2 1 xx 、 21 x 1 x 1  转化为含有 2121 xxxx、 的式子． 因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2 倍，即 ab2ba)ba ( 222  ，所以 ab2)ba (ba 222  ，由此可求出(1)．同样，可用 两数和与积表示两数的倒数和． 解： (1)∵2 1 xx 2 3 xx 2121 ， ， ∴ 21 2 21 2 2 2 1 xx2)xx(xx              2 1 2 2 3 2 1 4 9  4 13  ； (2) 21 12 21 xx xx x 1 x 1  2 1 2 3    ＝3． 注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、 倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式． 例 10 已知方程0mx4x2 2 的两根平方和是34，求 m 的值． 分析：已知 34xx 2 m xx2xx 2 2 2 12121 ，， ，求 m 就要在上面三个式子 中设法用 2 2 2 121 xxxx和 来表示 21x x ，m 便可求出． 解：设方程的两根为 21 xx 、 ，则 2 m xx2xx 2121 ， ． ∵ 21 2 21 2 2 2 1 xx2)xx(xx ， ∴ )xx()xx(xx2 2 2 2 1 2 2121  34)