《24.1.2垂直于弦的直径》优秀教学设计(教案)

1 人教版九年级数学上册第二十四章 《24.1.2 垂直于弦的直径》 教 学 设 计 2 教学目标： 1.知识与技能： （1）通过观察试验,理解圆的轴对称性. （2）掌握垂径定理及其推论. （3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题. 2.过程与方法： （1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观 察、分析、逻辑推理和归纳概括能力. （2）经历探究垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几 何图形的各种方法. 3.情感态度与价值观： （1）通过探究垂径定理的活动,激发学生探究、发现数学问题的兴 趣,培养学生大胆猜想、乐于探究的良好品质. （2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学 习活动中获得成功的体验. 教材分析： 与三角形、四边形一样,圆也是基本的平面图形,也是“空间与图形”的主 要研究对象,是人们生活中常见的图形.学生在前面学习了一些基本的直线型— —三角形、四边形等图形的基础上,进一步研究一个基本的曲线图形——圆,对 圆的概念和性质进行系统梳理,并结合一些图形性质的证明,进一步发展学生的 逻辑思维能力. 在已经对圆进行初步认识的基础上，进一步学习研究圆的概念和性质,圆的 许多性质比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统 一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、 由特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力, 学情分析： 学生已经通过对三角形、四边形的学习具备了一定的逻辑思维能力，能够 较好的用数学符号语言进行推理证明。前一课时让学生对圆已经有了巩固认识， 也能够熟悉圆的一些基本概念，对深入学习圆奠定了基础。但是通过对图形的 探究过程理解垂径定理以及推论，并熟练应用于实际问题计算和证明仍然存在 一定难度。 3 教学重难点： 【重点】 垂径定理及其应用. 【难点】 探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题 教学准备： 【教师准备】 多媒体课件、自制圆形卡纸 【学生准备】 预习教材 P81—83 和导学案、圆形纸片、作图工具 教学过程： 一：探究活动 活动 1:将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你 发现了什么？由此你能得到圆的什么特性？ 圆是 图形， 都是圆的对称轴． 【师生活动】 教师拿出自制的圆形卡纸，引导学生自己试验操作，思考后小 组合作交流,学生回答后教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这种说法错误的 原因. 【设计意图】 通过所有学生自己动手操作，吸引学生对本节数学课的学习兴 趣，让学生不知不觉参与投入课堂. 活动 2: 在圆形纸片上作⊙O 的任意一条弦 AB, 再作直径 CD⊥AB, 垂足为 E.沿着直径 CD 对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 观察发现： 点 A 与 重合，AE 与 重合, 弧 AC 与 重合，弧 AD 与 重合. 相等的线段: ， 相等的弧: . 如果 AB 是⊙O 的一条直径呢？以上结论还会成立吗？ 你能证明结论 AE=BE 吗？ 4 【师生活动】 引导学生自己作图试验操作，仔细观察思考后小组合作交流,学 生回答并展示自己的证明过程后教师点评,补充完善. 【设计意图】 通过对 AE=BE 的证明过程，让学生回忆前面在三角形、四边形 中的逻辑思维和证明思路的书写，为圆中的计算和证明问题做好铺垫. 二：获得新知 垂径定理： ， . 数学符号语言： ∵ , , ∴ , , . 【设计意图】 教师鼓励学生自己组织文字语言说出探究出的结论，也就是今 天要学习的垂径定理，让学生体验到学习的成就感。通过让学生找出条件和结 论，并用数学符号语言表述，锻炼学生的逻辑思维能力. 垂径定理基本图形的变形： 下列图形可以使用垂径定理吗？为什么？ 【设计意图】 把直径延伸为半径、过圆心的直线，同样适用于垂径定理.但是 如果垂直、直径缺少一个都无法适用.通过图形的变形和反例强化学生对垂径定 理的理解. 5 三：逆向思考 如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 交 AB 点 E，使 AE=BE. （1）CD⊥AB 吗？为什么？ （2）弧 AD 与弧 BD 相等吗？ 弧 AC 与弧 BC 相等吗？为什么？ 【师生活动】 让学生独立思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论. 教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,教师适时点评. 如果 AB 是⊙O 的一条直径呢？以上结论还会成立吗？ 【设计意图】 把垂径定理的条件和结论对换位置，培养学生逆向思考能力， 给出反例 AB 是⊙O 的一条直径，培养学生分类讨论，全面思考的良好习惯. 垂径定理推论： ， . 数学符号语言： ∵ , , ∴ , , . 四：牛刀小试 练习 1：如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 8cm， 圆心 O 到 AB 的距离为 3cm，求⊙O 的半径． 【师生活动】 让学生独立思考、尝试计算,然后小组合作交流,共同探究结论. 教师在巡视过程中帮助有困难的学生.学生回答问题,教师适时点评. 【设计意图】 通过一个简单的计算问题，检验学生对垂径定理的理解和掌握 如何，能否熟练用于解决相关问题.为后面赵州桥的问题做好铺垫. 6 设半径 OA 为 r，圆心到弦的距离 OE（弦心距）为 d，弦长 AB 为 a, 设弓形的 高 DE 为 h. 则半径 r、弦长 a、弦心距 d、弓形高 h，这四个量满足哪些关系式： , . 归纳小结： 【师生活动】 教师从牛刀小试的一个简单问题中提炼出一个直角三角形和一 个弓形，引导学生思考并找出四个量之间的数量关系，便于以后更加熟练的解 决相关问题. 【设计意图】 培养学生从特殊到一般，抽象出基本图形，并找出内在关系， 加强学生归纳概括的能力. 五：问题解决 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人 民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形， 它的跨度 （弧所对的弦的长） 为 37m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数 点后一位）. 7 【师生活动】 教师先让学生观看视频，导出赵州桥的计算问题，加以分析指 导，学生思考并完成计算过程，然后小组讨论，派出代表演板，教师点评不足 之处. 【设计意图】 利用大家熟悉的生活实际问题，吸引学生对数学的学习兴趣， 体验数学对实际生活的广泛运用，促进学生的学习欲望. 六：课堂小结 1.你学习了关于圆的哪些数学知识？ 2.你掌握了哪些常用的辅助线作法和解题方法？ 【师生活动】 教师请同学畅所欲言， 谈一谈自己这一堂课所学到的数学知识， 常用的辅助线作法和