《4.1第一节平面向量的概念及其线性运算》教案

1 / 27 平面向量的概念及其线性运算 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 新课标 课时时长 60 分钟 知 识 点 鱼向量有关的基本概念、向量记法与表示 向量的加法运算及其几何意义、向量加法交换律与结合律 向量的减法运算及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义 向量的数乘运算律、两个向量共线的判定定理及其应用、用向量处理共线问题 教学目标 1.了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 教学重点 三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定 教学难点 三角函数的定义及应用 2 / 27 教学过程 课堂导入 以前台胞春节期间来大陆探亲，乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海.2008 年 7 月 4 日，两岸直航包机启航．若 台北到香港的位移用向量 a 表示，香港到上海的位移用向量 b 表示，台北到上海的位移用向量 c 表示． 想一想，向量 a、b、c 有何关系？ 3 / 27 复习预习 1．我们已经学习过位移、速度、力等，你能总结出它们的特点吗？特点为 ________________________________ ． 2．在学习三角函数线时，我们已经学习过有向线段了，你还记得吗？ 所谓有向线段就是________________________ ，三角函数线都是_____________． 4 / 27 知识讲解 考点 1 向量的有关概念 名称 定义 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 (或称模) 零向量 长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线 向量．规定：0 与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量 5 / 27 考点 2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a (2)结合律：(a＋b)＋c＝a ＋(b＋c) 减法 求 a 与 b 的相反向量－b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数 λ 与向量 a 的积的运 算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 的方向相同； 当 λ＜0 时，λa 与 a 的方向相反；当 λ ＝0 时，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ) a (λ＋μ)a＝λa＋μ a λ(a＋b)＝λa＋λb 6 / 27 考点 3 共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa. 7 / 27 例题精析 【例题 1】 【题干】设 a0为单位向量，①若 a 为平面内的某个向量，则 a＝|a|a0；②若 a 与 a0平行，则 a＝|a|a0； ③若 a 与 a0平行且|a|＝1，则 a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 8 / 27 【答案】D 【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与 a0平行，则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a＝－|a|a0，故②③也是假命 题．综上所述，假命题的个数是 3. 9 / 27 【例题 2】 【题干】如图，在△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AC＝BA，在 OB 上取点 D，使 DB＝1 3OB.设 OA   ＝a， OB   ＝b，用 a，b 表示向量OC  ，DC  . 10 / 27 【解析】OC  ＝OB   ＋BC   ＝OB   ＋2BA   ＝OB   ＋2(OA   －OB   ) ＝2OA   －OB   ＝2a－b. DC  ＝OC  －OD  ＝OC  －2 3 OB   ＝(2a－b)－2 3b ＝2a－5 3b. 11 / 27 【例题 3】 【题干】已知 a，b 不共线，OA   ＝a，OB   ＝b，OC  ＝c，OD  ＝d，OE   ＝e，设 t∈R，如果 3a＝c,2b＝d， e＝t(a＋b)，是否存在实数 t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请 说明理由． 12 / 27 【解析】由题设知，CD   ＝d－c＝2b－3a，CE   ＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E 三点在一条直线上的充 要条件是存在实数 k，使得CE   ＝kCD   ，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因为 a，b 不共线，所以有      t－3＋3k＝0， t－2k＝0， 解之得 t＝6 5. 故存在实数 t＝6 5使 C，D，E 三点在一条直线上． 13 / 27 课堂运用 【基础】 1.如图，已知AB   ＝a，AC  ＝b，BD  ＝3DC  ，用 a，b 表示AD  ，则AD  ＝( ) A．a＋3 4b B.1 4a＋ 3 4b C.1 4a＋ 1 4b D.3 4a＋ 1 4b 14 / 27 解析：选 B ∵CB   ＝AB   －AC  ＝a－b，又BD  ＝3DC  ， ∴CD   ＝1 4 CB   ＝1 4(a－b)，∴ AD  ＝AC  ＋CD   ＝b＋1 4(a－b)＝ 1 4a＋ 3 4b. 15 / 27 2．已知向量 p＝ a |a|＋ b |b|，其中 a、b 均为非零向量，则|p|的取值范围是( ) A．[0， 2] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2] 16 / 27 解析：选 D a |a|与 b |b|均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值 2，当它们反向时，|p|取得最小值 0.故|p|∈[0,2]． 17 / 27 3．(2013·保定模拟)如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两点，且AM   ＝xAB   ，AN  ＝yAC  ，则 x·y x＋y 的值为( ) A．3 B.1 3 C．2 D.1 2 18 / 27 解析：选 B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面 BC 的直线，易得 x·y x＋y ＝1 3. 19 / 27 【巩固】 4．在▱ABCD 中，AB   ＝a，AD  ＝b，AN  ＝3NC  ，M 为 BC 的中点，则MN  