“等效重力场”解答匀强电场问题

解题应用 1．解直线运动 例 1 如图 1 所示，在离坡顶为l的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L。杆 上端 A 到坡底 B 之间有一光滑细绳，一个带电量为 q、质量为 m 的物体穿心于绳上，整个 系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角  30 。若物体从 A 点由静 止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。 （ 2/10smg  ，60. 037sin  ，80. 037cos  ） 解析 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存 在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。 建立“等效重力场”如图 2 所示， “等效重力场”的“等效重力加速度” ， 方向：与竖直方向的夹角  30 ，大小：  30cos g g  带电小球沿绳做初速度为零，加速度为 g 的匀加速运动  30cos2LS AB  ① 2 2 1 tgS AB  ② 由①②两式解得 g L t3 2．解抛类运动 例 3 如图 3 所示，在电场强度为 E 的水平匀强电场中，以初速度为 0 v 竖直向上发射 一个质量为 m、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。 解析 建立等效重力场如图 4 所示，等效重力加速度 g 设 g 与竖直方向的夹角为 θ，则 cos g g  其中 22 arcsin ）（）（mgqE qE   E A B C 图 1 A B C g 图 2 v） E 图 3 θ x y g v） 则小球在“等效重力场”中做斜抛运动 sin 0 vv x  cos 0 vv y  当小球在 y 轴方向的速度减小到零，即 0 y v 时，两者的 合速度即为运动过程中的最小速度 22 00min sin ）（）（qEmg qE vvvv x   例 4 如图 5-1 所示，匀强电场水平向右， 310E N/C，一带正电的油滴的质量 5100 . 2m kg，电量 5100 . 2q C。在 A 点时速度大小为20vm/s，方向为竖直向 上，则油滴在何时速度最小且求出最小速度？ 3．解振动类 例 5 如图 5 所示，让单摆处在电场强度为 E，方向水平向右的匀强电场中，让摆球带 上 q 的电量，求单摆的周期。 解析 建立等效重力场如图 6 所示，摆球除了受到绳的拉力外，受到 重力合电场力的合力为 22)(qEGF ，所以等效重力加速度 22)( m qE g m F g 所以 22)( 22 m qE g L g L T     例 6 如图 2-1 所示`， 一条长为 L 的细线上端固定在Ｏ点， 下端系一个质量为 m 的小球， 将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡， 细线与竖直线的夹角为。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放 后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？ 图5 E + 图 6 g + E A qE mg g m   v 图 5-2 E A v 图 5-1 A g m  x y v vx vy 图5-3 4．解圆周运动 例 7 如图 7 所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O， 用一根长度mL40. 0 的绝缘细绳把质量为kgm10. 0、带有正电荷的金属小球悬挂在 O 点，小球静止在 B 点时 细绳与竖直方向的夹角为  37 。现将小球拉至位置 A 使细线水平后由静止释放，求： ⑴小球通过最低点 C 时的速度的大小； ⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力。 （ 2/10smg  ， 60. 037sin  ， 80. 037cos  ） 解析 ⑴建立“等效重力场”如图 8 所示， “等效重力加速度” g ， 方向：与竖直方向的夹角  30 ，大小： g g g25. 1 37cos   由 A、C 点分别做绳 OB 的垂线，交点分别为 A 、C ，由动能 定理得带电小球从 A 点运动到 C 点等效重力做功 2 2 1 )sin(cos)(m CCOAO mvLgmLLg   代入数值得 4 . 1 C v m/s （2）当带电小球摆到 B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为 B v ，绳上的拉力 为F，则 2 2 1 sin B mvLLgm）（ ① L v mgmFB 2  ② 联立①②两式子得25. 2FN 例 8 如图 9 所示的装置是在竖直的平面内放置光滑的绝缘轨道， 一带负电荷的小球从 高 h 的 A 处静止开始下滑，进入水平向右的匀强电场中，沿轨道 ABC 运动后进入圆环内做 圆周运动，已知小球受到的电场力是其重力的 4 3 ，圆环的半径为 R，小球得质量为 kgm1 . 0 ，斜面的倾角为  45 ， RS BC 2 ，若使小球在圆环内能做完整的圆周运动， h 至少是多少？ 解析 建立“等效重力场”如图 10 所示，等效重力场加速度 g θ A B O C E h 图 9 O A B C E θ L 图 7 + θ g O A B C θ A C 图 8 + qE E B O α mg T g m  β B α O E 图 2-3 E B O α 图 2-1 图 2-2 与竖直方向的夹角为  37arctan mg qE  ，则等效重力场加速度 g 的大小g g g 4 5 cos   。 圆环上的 D 点成为等效重力场中的最高点，要想小球在圆环内 完成圆周运动，则小球通过 D 点的速度的最小值为 Rgv ① 小球由 A 点运动到 D 点，由动能定理得 2 2 1 )sin2cot( 4 3 )cos(vmRRhmgRRhmg ② 代入数值，由①②两式解得 RRh5 .17)25 . 35 .12( 例 9 半径 R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内， 加上某一方向的匀强电场后， 带电 小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在 A 点，圆心 O 与 A 点的连线与竖直方 向的夹角为，如图 11 所示.在 A 点时小球对轨道的压力 FN=120N，若小 球的最大动能比最小动能多 32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不 计空气阻力）.试求： （1）小球最小动能等于多少？ (2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道， 并保持其他量不变， 则小 球经 0.04s 时间后，其动能与在 A 点时的动能相等，小球的质量是多少？ 讲析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一 个力 F（F 即为重力和电场力的合力） ，设小球动能最小位置在 B 处（该 点必在 A 点的对称位置） ，此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得： 2 A N v FFm R  ，从A 到 B，由动能定理得： 2 kBkA FREE ，可解得： 40 kA EJ ， 8 kB EJ ，20FN （2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA