“相似三角形”在物理中的应用

物理相似三角形在物理题中的应用 理科综合的考试说明能力要求的其中一项能力就是应用数学知识处理物问 题，在中学物理解题中，常常用到三角形的有关知识，如三角函数关系、正弦定 理、余弦定理、矢量三角形、相似三角形等。 引子例一：如图所示，竖直绝缘墙壁上的 Q 处有一固定的质点 A，在 Q 的正上方的 P 点用 丝线悬另一质点 B，A、B 两质点因为带电而相互排斥，致使悬线与竖直方向成θ 角，由于 漏电使A、 B两质点的带电荷量逐渐减少， 在电荷漏电完之前悬线对悬点P的拉力大小 （ ） A. 变小 B. 变大 C. 不变 D. 无法确定 “相似三角形”在物理中的应用 “相似三角形”的主要性质是对应边成比例，对应角相等。在物理中，一般地， 当涉及到矢量运算，又构建了三角形时，可考虑用相似三角形。下面以静力学为 例说明其应用。 例 1. 如图 1 所示，支架 ABC，其中，在 B 点 挂一重物，，求 AB、BC 上的受力。 例 2. 如图 3 所示，长为 5m 的细绳的两端分别系于竖立的地面上相距为4m 的两 杆的顶端 A 、B 上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重为12N的物体。 平衡时，绳中的张力T=_________N。 例 3. 两根等长的轻绳，下端结于一点挂一质量为 m 的物体，上端固定在天花板 上相距为 S 的两点上，已知两绳能承受的最大拉力均为 T ，则每根绳长度不得短 于多少？ 例 4. 如图 7 所示，在半径为 R 的光滑半球面上高 h 处悬挂一定滑轮，重力为 G 的小球用绕过滑轮的绳子被站在地面上的人拉住，人拉动绳子，在与球面相切的 某点缓缓运动到接近顶点的过程中， 试分析小球对半球的压力和绳子拉力如何变 化。 图 7 例 1.解：受力分析如图 2 所示，杆 AB 受到拉力作用为，杆 BC 受到支持力为 ，这两个力的合力与重力 G 等大反向，显然由矢量构造的三角 形与图 1 中相似，由对应边成比例得： 把代入上式， 可解得，。 例 2. 解：受力分析，如图 4 所示。因轻质挂钩光滑，所以 AO、BO 两段绳的拉 力相等， 设均为 T ， 且这两个力的合力与重力 G 等大反向。 现在构建相似三角形， 如图 3 所示，延长 AO 交左杆于，不难证明，又过作右杆的垂线交 于，显然，图 3 、图 4 两图中阴影部分的三角形相似，又依题意知，， ，。由相似三角形对应边成比例得： // 2 ABAA G T ，代入数据解 得。 图 4 例 3 解：因为天花板水平，两绳又等长，所以受力相等。又因MN 两点距离为 S 固定，所以绳子越短，两绳张角越大，当合力一定时，绳的张力越大。设绳子张 力为 T 时，长度为 L ，受力分析如图 6 所示。在图 5 中过 O 点作 MN 的垂线，垂 足为 P ，显然，图 5 、图 6 两图中阴影部分的三角形相似，由对应边成比例得： 解得： 例 4. 解：受力分析，如图 7 所示。不难看出由 G 、N 、F 构成的力矢量三角形与 由 L 、R 、构成的几何三角形相似，依对应边成比例得： 解得 又因为是恒量，L 逐渐减小，所以 N 不变，F 逐渐减小。 引子例一：解析：受力分析如图所示，设 PA＝L，PB＝l 由几何知识知：△APB∽△BDC 则：，即： T PB mg PA T mg L  l ∵T 和 T’是作用力和反作用力，故 T＝T’ 故选 C 一、矢量三角形的应用 例 1 ：如图 1 所示，小球用细绳系在倾角为θ 的光滑斜面上，当细绳由水平 方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将。„„„„ A ． 逐渐增大 B． 逐渐减小 C． 先增大后减小 D． 先减小后增大 分析与解：解法 1 ：设细绳向上偏移过程中的某一时刻，细绳与斜面支持 力 FN的夹角为α ，作出力的图示如图 2 甲，由正弦定理得： sin)sin( TG   )sin( sin    GT 讨论：当 2  时，sinGT  当 2  时，sinGT  当 2  时，sinGT  可见，当 2  时，T 最小，即当绳与斜面支持力 FN垂直（绳与斜面平行） 时，拉力最小，当绳由水平面逐渐向上偏移时，FT先减小后增大，故选项 D 正 确。 解法 2：因为 G、FN 、FT 三力共点平衡，故三个力可以构成一个矢量三角形， 图 2 乙中 G 的大小和方向始终不变；FN 的方向也不变，大小可变，FT的大小、 方向都在变，在绳向上移的过程中，可以作出一系列矢量三角形如图乙所示，显 而易见在 FT变化到与 FN垂直前，FT是逐渐变小的，然后 FT又逐渐变大，FT与 FN当垂直时，FT有最小值。故选 D。同时看出斜面对小球的支持力 FN是逐渐变 小的。 解题小结：本题通过数学方法（正弦定理）和图解法（矢量三角形）求解。 当物体在三力作用下平衡（或可以等效成三力平衡） ，且其中一个力的大小和方 向始终不变； 另一个力的方向不变， 大小可变； 第三个力的大小和方向都在变时。 这种情况下的动态平衡，应用图解法解，非常方更快捷。 例 2：如图 3 所示，质量 m 的小车，在拉力 F 的牵引下，沿摩擦系数为μ 的水平面运动。求牵引力最小时的牵引角α 角是多大？最小牵引力是多少？ 分析：匀速牵引所需拉力最小。这时，小车在四个力的作用下处于动平衡状 态。根据共点力系平衡时，自行构成封闭多边形，可以利用四边形和三角形求出 最佳牵引角。 解：方法一：在小车受到的四个力中，Mg 大小、方向均不变；Ff和 FN方 向不变，且 N f F F tg为常量，即 Ff和 FN的合力的方向不变；F 的大小、方 D C B A θ 图 1 FN FN FT G G 甲 乙 FT 图 2 向都变。从矢量四边形可以看出：当α 增大时，F 先减小后增大；当 F 垂直于四 边形对角线 OA——Ff和 FN的合力，即时，F 最小。 方法二、将 Ff和 FN以其合力 R 代替， ，使四力平衡转化为三力平衡问题。 设 R 与竖直方向夹角为，且 N f F F tg。从矢量三角形可以更明显地看出： 当α 增大时，F 先减小后增大；当 F 垂直于 Ff和 FN的合力 R，即时，F 最小。所以，最佳牵引角为 1tg 且最小牵引力为 1 min sinsin tgMgMgF 式中sin还可以根据三角函数关系表 示为 2211 sin          tg tg 所以： 2 min 1    MgF 例 3：河水流速 s m v5 1 ，船在静水中的航速 s m v4 2 ，河宽md10，则 船渡河的最小航程多大？ 分析与解：由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图 5 所示，设船从 A 点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只 要船的合速度v的方向与 AB 间的夹角最小。由于 2 v的大小恒定，所以当v与 圆周 相切，即 2 v⊥v时航程最短，由相 以三角形关系知最短航程S 为 mv v d S5 .12 1 2 。 解题小