“等时圆”大全(个人汇集整理)

巧用“等时圆”解物理问题 一、何谓“等时圆” 奇妙的等时圆——2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用 从一道高考题得到的一个重要结论及其应用 2004 年高考试题： 如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d 位 于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆上都套有一个小滑 环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t2、t3依 次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（） A.t1t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半 径为 R，由牛顿第二定律得， mamgcos ① 再由几何关系，细杆长度 cos2RL  ② 设下滑时间为t，则 2 2 1 atL  ③ 由以上三式得， g R t2 可见下 4 滑时间与细杆倾角无关，所 以 D 正确。由此题我们可以得出一个结论。 结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达 圆周最低点的时间相等。 推论：若将图 1 倒置成图 2 的形式，同样可以证明物体从最高点由 静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等。 (1)物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到 达圆周最低点时间均相等，且为t＝2 R g(如图甲所示)． (2)物体沿着位于同一竖直圆上的所有过顶点的光滑弦由静止 下滑，到达圆周低端时间相等为t＝2 R g(如图乙所示)． 象这样的竖直圆我们简称为“等时圆” 。关于它在解题中的应用，我们看下面的例子： 一、 等时圆模型（如图所示） 图 2 图 a 图 b 图 1 二、 等时圆规律： 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a） 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，即 g R g R g d t2 42 0  （式中 R 为圆的半径。） 三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d（如右图） 。根 据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 singa  ，位移为 sinds  ，所以运动时间为 g d g d a s t 2 sin sin22 0    即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。 规律 AB、AC、AD 是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D 位于同一圆周上， A 点为圆周的最高点，D 点为最低点.每根杆上都套着一个光滑的小滑环（图中未画出） ，三 个滑环分别从 A 处由静止开始释放，到达圆周上所用的时间是相等的，与杆的长度和倾角 大小都无关. 推导 设圆环沿细杆 AB 滑下，过 B 点作水平线构造斜面，并设斜面的倾角为θ，如图 2 所 示，连接 BD.根据牛顿第二运动定律有环的加速度 a=gsinθ，由几何关系有 AB=x=2Rsinθ， 由运动学公式有 x=12at2，解得：环的运动时间 t=2Rg，与倾角、杆长无关，所以环沿不同 细杆下滑的时间是相等的. 说明 1 如果细杆是粗糙的， 环与细杆间的动摩擦因数都为μ， 由运动学公式有 2Rsinθ=12（gsinθ—μgcosθ）t2， 解得 t=2Rsinθgsinθ—μgcosθ=2Rg—μgcotθ， θ增大，时间 t 减小，规律不成立. 二、 “等时圆”的应用,巧用等时圆模型解题 对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解． 1、 可直接观察出的“等时圆” 例 1：如图 3，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位 置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以 A 正 确。 【变式训练 1】如图所示，AB 和 CD 是两条光滑斜槽，它们各自的两端分别位于半 图 3 A 径为 R 和 r 的两个相切的竖直圆上，并且斜槽都通过切点 P.设有一个重物先后沿斜槽从静 止出发，从 A 滑到 B 和从 C 滑到 D，所用的时间分别等于 t1和 t2，则 t1和 t2之比为( ) A．2∶1 B．1∶1 C.3∶1 D．1∶2 例 4：圆 O1和圆 O2相切于点 P，O1、O2的连线为一竖直线，如图 8 所示。过点 P 有两条光滑的轨道 AB、CD，两个小物体由静止开始分别沿 AB、CD 下滑，下滑时间 分别为 t1、t2，则 t1、t2的关系是（） A.t1t2 B.t1=t2 C.t1 ta ； c 做自由落体运动 tc= g R2 ；而 d 球滚下是一个单摆模型，摆长为 R， td= 4 T = 2  g R ，所以 C 正确。tb＞ta＞td＞tc. 解【析】 如图所示，令圆环半径为 R，则 c 球由 C 点自由下落到 M 点用时满足 R＝1 2gt2 c，所以 tc ＝ 2R g ；对于 a 球令 AM 与水平面成 θ 角，则 a 球下滑到 M 用时满足 AM ＝2Rsin θ＝1 2gsin θt2 a， 即 ta＝2 R g；同理 b 球从 B 点下滑到 M 点用时也满足 tb＝2 r g(r 为过 B、M 且与水平面相切于 M 点的竖直圆的半径，r＞R)．综上所述可得 tb＞ta＞tc. A B C D M 图 4 图 8 三个相同小球从 a 点沿 ab、ac、ad 三条光滑轨道从静止释放，哪个小球 先运动到最低点？ 解析：设斜面侧边长为l，倾角为，则物体沿光滑斜面下滑时加速度 为 singa  ，物体的位移为 sinlx  。 物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得 2sin 2 1 sin tg l    ， 得 2sin 2 g l t  ， l、g一定，所以越大时，下滑所用时间越短 奇妙的等时圆——2004 年全国高考理科综合第 15 题的解析与应用 从一道高考题得到的一个重要结论及其应用 2004 年高考试题：如图 1 所示，ad、bd、cd 是竖直面内三根固定的光滑细 杆，a、b、c、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。每根杆 上都套有一个小滑环（图中未画出） ，三个滑环分别从 a、b、c 处释放（初速为 0） ，用 t1、t2、t3依次表示各滑环到达 d 所用的时间，则（） A.t1t3 C.t3t1t2 D.t1=t2=t3 解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图 2，由牛顿第 二定律得， mamgcos ① 由几何关系，细杆长度 cos2RL  ② 设下滑时间为t，则 2 2 1 atL  ③ 由以上三式得， g R t2 可见下滑时间与细杆倾角无 关，所以 D 正确。 若将图 1