§_5_定积分习题与答案

1 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线 1 2  xy ，两直线 )(,abbxax 及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式：  1 0 12) 1xdx 4 1)2 1 0 2  dxx      0sin)3xdx    2 2 2 0 cos2cos)4    xdxxdx 3．估计下列各积分的值  3 3 1 arctan) 1xdxx dxe xx 0 2 2 )2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 2 1 ln) 1xdx与dxx2 1 2)(ln dxex1 0 )2 与  1 0 )1 (dxx 5．计算下列各导数 2 dtt dx d x  2 0 21) 1   3 2 41 )2 x xt dt dx d  x x dtt dx d cos sin 2)cos()3 6．计算下列极限 x dtt x x   0 2 0 cos lim) 1 x dtt x x cos1 )sin1ln( lim)20 0    2 2 0 2 0 )1 ( lim)3 x x t xxe dtet  7．当 x 为何值时，函数  x tdttexI 0 2 )( 有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x) 1 () 1 2 1 4 2 dxxx)1 ()2 9 4  3   2 1 2 1 2)1 ( )3 x dx   a xa dx 3 0 22 )4    2 11 )5 e x dx  2 0 sin)6dxx dxxx  0 3sinsin)7 2 0 )()8dxxf ，其中        2 2 1 1 )( x x xf 1 1   x x 9.设 k，l 为正整数，且 lk  ，试证下列各题：      0cos) 1kxdx      kxdx 2cos)2      0sincos)3lxdxkx      0sinsin)4lxdxkx 4 10.计算下列定积分    0 3)sin1 () 1d 2 6 2cos)2   udu dx x x   1 2 1 2 21 )3 dxxax a 22 0 2)4   3 1221 )5 xx dx dx x   2 1 032)1 ( 1 )6   2 221 )7 xx dx   1 145 )8 x xdx   a xa xdx 2 0223 )9 dtte t  1 0 2 2 )10    0 2 222 )11 xx dx   2 2 2coscos)12   xdxx 5    2 2 3coscos)13   dxxx     2 2 21 )(cos )14 x dxxxx   0 2cos1)15dxx 11.利用函数的奇偶性计算下列积分   2 2 4cos4) 1   d dx x x   2 1 2 1 2 2 1 )(arcsin )2 dx xx xx    5 5 24 23 12 sin )3 12．设 f（x）在  ba, 上连续，证明：  b a b a dxxbafdxxf)()( 13．证明： )0( 11 1 1 2 1 2     x x dx x dx x x 14．计算下列定积分 6  1 0 ) 1dxxe x 3 4 2sin )2   dx x x dx x x 4 1 ln )3 1 0 arctan)4xdxx 2 0 2cos)5  xdxe x dxxx 0 2)sin()6 edxx 1 )sin(ln)7 dxx e e  1 ln)8 15.判定下列反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值。 1）  1 4x dx 2）  0 dxe ax  0a 3） dx ee xx    0 1 4）  0 )0, 0(sinptdte pt 5）  1 021x xdx 6）  2 11x xdx 7 7）   22 2xx dx 8）    e xx dx 12 ln1 (B) 1．填空： 1）________) 1 2 1 1 1 (lim       nnnn n  。 2）估计定积分的值：_____ sin1 ____ 3 4 2      x dx 。 3）运用积分中值定理可得：    x aax xfdttf ax )(()( 1 lim 是连续函数）＝________， ______)0( sin lim   adx x x an nn 。 4） _______ sin lim 3 0 0 2     x dtt x x 。 5）设dttxF x  2 )( 2sin)(  ，其中)(x  为可导函数，则_____________)(  x F 。 6）设)(xf为连续函数，且满足   1 0 3 ,)( x xdttf 则______)7(f。 7）已知 , 6 1 2ln2     axe dx 则 ___________a 。 8) ________sin 12 sin 2 2 8 24 23             dxx xx xx   。 9)若  , 0) 1 (, 1)()( 1 0 fdxexfxf x 则 ________)0(f 。 10)广义积分  2 )(ln kxx dx ，当 ______k 时收敛，广义积分   b a kax dx )( 当 _______k 时收敛。 2．汽车以每小时 36km 速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等加速度 2/5sma 刹 8 车，问从开始刹车到停车，汽车驶过了多少距离？ 3．计算下列极限： 1） 10 0 22 0 2 cos lim x dttx x x   2） )1ln( cos lim 2 0 0 2 x tdt x x    3）    x t x t x dtte dte 0 2 2 0 0 2 2 )( lim 4） 1 )(arctan lim 2 0 2   x dtt x x 4．求下列由参数方程给出或隐函数方程所决定的y对x的导数 dx dy 1）          t t uduy udux 0 0 cos sin 1） 由  yx ttdtdte 00 0cos 所决定的隐函数)(xyy 。 5．设       0 sin 2 1 )( x xf     xx x 或0 0 ，求  x dttfx 0 )