[数学]高考复习点拨：二项分布与超几何分布辨析

二项分布与超几何分布辨析 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题 都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要 的．下面举例进行对比辨析． 例 袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解： （1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到 黑球的概率均为，3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则 1 ~3 5 XB    ，． 03 0 3 1464 (0) 55125 P XC     ∴； 12 1 3 1448 (1) 55125 P XC     ； 21 2 3 1412 (2) 55125 P XC     ； 30 3 3 141 (3) 55125 P XC     ． 因此，X的分布列为 2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有： 03 28 3 10 7 (0) 15 C C P Y C ； 12 28 3 10 7 (1) 15 C C P Y C ； 21 28 3 10 1 (2) 15 C C P Y C ． 因此，Y的分布列为 辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物 的概率都是相同的， 可以看成是独立重复试验， 此种抽样是二项分布模型． 而不放回抽样时， 取出一个则总体中就少一个， 因此每次取到某物的概率是不同的， 此种抽样为超几何分布模 型． 因此， 二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样． 超几何分布和二项分布都是离散型分布，超几何分布和二项分布的区别： 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 X 0 1 2 3 P 64 125 48 125 12 125 1 125 Y 0 1 2 P 7 15 7 15 1 15 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、 应用广泛的概率模型， 实际中的许多问题都 可以利用这两个概率模型来解决。在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的。 下面举例进行对比辨析。 1.有放回抽样:每次抽取时的总体没有改变， 因而每次抽到某物的概率都是相同的， 可以看 成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型。 2.不放回抽样:取出一个则总体中就少一个， 因此每次取到某物的概率是不同的， 此种抽样 为超几何分布模型。 因此， 二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样 还是不放回抽样。所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件 是非常重要的(特别注意：二项分布是在n次独立重复试验的 3 个条件成立时应用的)。 超几何分布和二项分布的区别： （1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （2）超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取（独立重复） 。 练习题： 1. 袋中有 8 个白球、2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球。求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列。 2. (2008 年四川延考)一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检 验员定时从该生产线上任取 2 件产品进行一次抽检， 若发现其中含有 C 类产品或 2 件都是 B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为 A 类品，B 类品和 C 类品的概率分别为 0.9,0.05 和 0.05，且各件产品的质量情况互不影响． (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率； (2)若检验员一天抽检 3 次，以 ξ 表示一天中需要调整设备的次数，求 ξ 的分布列． 3. 今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以扰 此计算出自己每天的碳排放量。例如：家居用电的碳排放量（千克）=耗电度数×.785，汽 车的碳排放量（千克）=油耗公升数×0.785 等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了 一次生活习惯进否符合低碳观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ，否则 称为“非低碳族” 。这二族人数占各自小区总人数的比例 P 数据如下： （I）如果甲、乙来自 A 小区，丙、丁来自 B 小区，求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率； （II）A 小区经过大力宣传，每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。如果 2 周 后随机地从 A 小区中任选 25 个人，记表示 25 个人中低碳族人数，求 .E 4. 在“自选模块”考试中，某试场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与 不等式选讲》的有 1 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 5 人，第二小组选《数学 史与不等式选讲》的有 2 人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有 4 人，现从第一、第 二两小组各任选 2 人分析得分情况. （Ⅰ）求选出的 4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率； （Ⅱ） 设为选出的 4 个人中选 《数学史与不等式选讲》 的人数， 求的分布列和数学期望． A 小区 低碳族 非低碳族 比例 P 2 1 2 1 B 小区 低碳族 非低碳族 比例 P 5 4 5 1 5. 甲、 乙两人参加 2010 年广州亚运会青年志愿者的选拔． 打算采用现场答题的方式来进行， 已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都 从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才能入选． (1)求甲答对试题数 ξ 的概率分布； (2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率． 正态分布和线性回归 高考要求 1.了解正态分布的意义及主要性质 2.了解线性回归的方法和简单应用 知识点归纳 1．正态分布密度函数： 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe       ， （σ＞0，-∞＜x＜∞） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正 态分布的标准差.正态分布一般记为 ),( 2N 2．正态分布 ),( 2N ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 例 1、下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值 μ 和标准差 σ． （1）2 2 2 1 )( x exf    ， （-∞＜x＜+∞  （2） 2 (1) 8 1 ( ) 2 2 x f xe     ， （-∞＜x＜+∞  解： (1)0,1 (2)1,2 3．正态曲线的性质：正态分布由参数μ、σ唯一确定，如果随机变量～N(μ，σ2)，根 据定义有：μ