[强烈推荐]高中解题基本技巧之因式分解

1 高中解题基本技巧之因式分解 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形， 它与整式乘法是相反方向的变形． 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能． 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等． 一、公式法(立方和、立方差公式) 在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： 2233()()ab aabbab (立方和公式) 2233()()ab aabbab (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到： 3322()()abab aabb 3322()()abab aabb 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x (2) 30.12527b 分析： (1)中， 382 ，(2)中 3330.1250.5 ,27(3 )bb ． 解：(1) 333282(2)(42)xxxxx (2) 333220.125270.5(3 )(0.53 )[0.50.53(3 ) ]bbbbb 2(0.53 )(0.251.59)bbb 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 3338(2)a bab ，这里逆用了法则( )n nnaba b ；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时， 一定要看准因式中各项的符号． 【例 2】分解因式： (1) 34381a bb (2) 76aab 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解； (2) 中提取公因式后， 括号内出现 66ab ， 2 可看着是 3232()()ab 或 2323()()ab ． 解：(1) 3433223813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb ． (2) 76663333()()()aaba aba abab 2222 2222 ()()()() ()()()() a ab aabbab aabb a ab ab aabbaabb   二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于 四项以上的多项式， 如mambnanb既没有公式可用， 也没有公因式可以提取． 因此， 可以先将多项式分组处理． 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法． 分组分解法的 关键在于如何分组． 1．分组后能提取公因式 【例 3】把2105axaybybx分解因式． 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然 后从两组分别提出公因式2a与b，这时另一个因式正好都是5xy，这样可以继续提取 公因式． 解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab 说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的 方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试． 【例 4】把 2222()()ab cdabcd 分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因 式． 解： 22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd 2222()()abca cdb cdabd ()()()()ac bcadbd bcadbcadacbd 说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了 加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用． 2．分组后能直接运用公式 【例 5】把 22xyaxay 分解因式． 分析： 把第一、 二项为一组， 这两项虽然没有公因式， 但可以运用平方差公式分解因式， 其中一个因式是xy； 把第三、 四项作为另一组， 在提出公因式a后， 另一个因式也是xy. 3 解： 22()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya 【例 6】把 2222428xxyyz 分解因式． 分析：先将系数 2 提出后，得到 22224xxyyz ，其中前三项作为一组，它是一 个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解： 22222224282(24)xxyyzxxyyz 222[()(2 ) ]2(2 )(2 )xyzxyzxyz 说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或 提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多 项式就可以分组分解法来分解因式． 三、十字相乘法 1． 2()xpq xpq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是 1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之 和． 22()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq 因此， 2()()()xpq xpqxp xq 运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式． 【例 7】把下列各式因式分解： (1) 276xx (2) 21336xx 解：(1) 6( 1)( 6),( 1)( 6)7     2 76[( 1)][( 6)](1)(6)xxxxxx   ． (2) 3649,4913 2 1336(4)(9)xxxx 说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项 系数的符号相同． 【例 8】把下列各式因式分解： (1) 2524xx (2) 2215xx 解：(1) 24( 3)8,( 3)85  4 2 524[( 3)](8)(3)(8)xxxxxx  (2) 15( 5)3,( 5)32   2 215[( 5)](3)(5)(3)xxxxxx  说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的 因数与一次项系数的符号相同． 【例 9】把下列各式因式分解： (1) 226xxyy (2) 222()8()12xxxx 分析：(1) 把 226xxyy 看成x的二次三项式，这时常数项是 26y ，一次项系数是 y，把 26y 分解成3y与2y的积，而3( 2 )yyy