傅里叶变换基础知识

傅里叶变换基础知识 1. 傅里叶级数展开 最简单有最常用的信号是谐波信号谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无 穷多个不同频率的谐波信号， 即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线 性叠加而成。 1.1 周期信号的傅里叶级数 在有限区间上，任何周期信号x(t)只要满足狄利克雷（dirichlet）条件，都可以展开成 傅里叶级数。 1.1.1 狄利克雷（dirichlet）条件 狄利克雷（dirichlet）条件为： （1）信号x(t)在一个周期内只有有限个第一类间断点（当 t 从左或右趋向于这个间断 点时，函数有左极限值和右极限值） ； （2）信号x(t)在一周期内只有有限个极大值和极小值； （3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即 T /2 x(t)dt应为有限值。 0 T0/2 1.1.2 间断点 在非连续函数y  f (x)中某点处x0处有中断现象，那么，x 0 就称为函数的不连续点。 （1）第一类间断点（有限型间断点） ： a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数 在该点无定义（x 0 令分母为零时等情况） ； b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（y  x / x0在点x  0处等 情况） 。 （2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。 1.1.3 傅里叶级数三角函数表达式 傅里叶级数三角函数表达式为 x(t)  a 0 (a n cosn 0t  bn sinn 0t) n1  式中：a 0 为信号的常值分量；a n 为信号的余弦信号幅值；b n 为信号的正弦信号幅值。 a 0 、a n 、b n 分别表示为：  1 T /2 a   0 T  T /2 x(t)dt 0   2 T /2 a  n  T /2 x(t)cosn 0tdt T 0   2 T /2 b n  T /2 x(t)sin n 0tdt T 0  式中：T 0 为信号的周期； 0 为信号的基频，即角频率， 0  2/T 0 ，n 1,2,3.。 合并同频项也可表示为 0 0 0 0 0 0 x(t)  a 0 A n cos(n 0t   n ) n1  式中：信号的幅值A n 和初相位 n 分别为 2A n a n  b n 2  n  arctan(b n / a n ) 1.1.4 频谱的相关概念 （1）信号的频谱（三角频谱） ：构成信号的各频率分量的集合，表征信号的幅值和相位 随频率的变化关系，即信号的结构，是A n （或A n  f）和 n （或 n  f）的统称； （2）信号的幅频谱：周期信号幅值A n 随（或f）的变化关系， 用A n （或A n  f） 表示； （3）信号的相频谱：周期信号相位 n 随（或f）的变化关系，用 n （或 n  f） 表示； （4）信号的频谱分析：对信号进行数学变换，获得频谱的过程； （5）基频： 0 或f 0 ，各频率成分都是 0 或f 0 的整数倍； （6）基波： 0 或f 0 对应的信号； （7）n次谐波：n 0 (n  2,3,.)或nf 0 (n  2,3,.)的倍频成分A n cos(n 0t   n )或 A n cos(2nf 0t   n )； 1.1.5 周期信号的傅里叶级数的复指数函数展开 根据欧拉公式e jt 1 cost (e jt ejt) 2  cost  jsint( j 1)，则 1  jtsint j(eejt) 2  n1 因此，傅里叶级数三角函数表达式x(t)  a 0 a n cosn 0t bn sinn 0t 可改写成 a  jb n jn0t a n  jb n  jn0t  x(t)  a 0 nee  22  n1   令 C 0  a 0 C n  C n 1 a n  jb n  2 1  a n  jb n  2 则 x(t) C 0 C ne n1  jn0tC ne n1   jn0tC ne n0 jn0tC ne n1  jn0t n1 C e n  jn0t 或 x(t)  n  C e n  jn 0 tn  0,1,2, 这就是周期信号的傅里叶复指数形式的表达式。 2 T0/2 a   n T  T0/2 x(t)cos n 0tdt 11 0 将代入C n  a n  jb n ，则C n  T /2 T 0 2 b  2 0 x(t)sin ntdt n0  T 0 T0/2  在一般情况下C n 是复数，可以写成C n  C nR  jC nI  C n ejn 式中 22C n C nR C nI  T0/2 T0/2 x(t)e jn 0tdt  n  arctan 由C n  C nR  jC nI  C n ejn，C n  C nI C nR 11 a n  jb n ，C n  a n  jb n 可表示为 22 1 a n  jb n  C n ejn 2 1 C n  a n  jb n  C n e jn 2 C n  则x(t)  n C e n  jn 0t n  0,1,2,变为 jn0tx(t) C 0 C ne n1  C ne n1   jn0tjn0tnjn0tnC 0 C e C e 00  n1  由此可见，周期信号用复指数形式展开，相当于在复平面内用一系列旋转矢量 C 0 ejn0tn来描述，但是，负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际物理意义。 Im ORe 1.1.6 傅里叶级数的复指数与三角函数展开关系 1 由C n  a n  jb n ，C n  C nR  jC nI  C n ejn可知： 2 C nR  a n / 2 C nI  b n / 2 2222综合A n a n ，C n C nR 表示为b n C nI 22C n C nR C nI  a n / 22b n / 2 A n / 2 2 即双边频谱的幅值C n 是单边频谱幅值A n的一半。 由 n  arctan C nI，C nR  a n / 2，C nI  b n / 2可知： C nR  n  arctanb n / a n  表达式表达式 a 0  C 0 复指数展开复指数展开 复指数常量 复数C n 的实部 复数C n 的虚部 复数C n 的模 相位 表达式表达式 C 0  a