傅里叶变换性质证明精修订

傅傅里里叶叶变变换换性性质质证证明明 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 2.6.12.6.1 线性线性 若信号 则对于任意的常数 a 和 b，有 将其推广，若,则 和的傅里叶变换分别为和， 其中为常数，n 为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个 含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换 也乘以相同的常数 a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.22.6.2 反褶与共轭性反褶与共轭性 设 f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号 反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是 f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是复函数，因此,无 论 f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.32.6.3 奇偶虚实性奇偶虚实性 已知 f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成 模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据 f(t)的虚实性来讨论 F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由 FT 的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即 f(t)=f(-t) X( )的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时 X( )=0，于是 数，即 可见，若 f(t)是实偶函数，则 F()也是实偶函 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R( )的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时 R( )=0，于是 可见，若 f(t)是实奇函数，则 F( )是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不 是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT 频谱特 点。 2.6.42.6.4 对称性对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性 质。若已知 F( )=F[f(t)] 则有 F[f(t)]=2лf(- ) 证明：因为 将变量 t 与互换，再将 2 乘过来，得上式右边是傅里 叶正变换定义式，被变换函数是 F(t) 所以 F[F(t)]=2лf(- ) 若 f(t)为偶信号，即 f(t)=f(-t)，则有 F[F(t)]=2f( ) 从上式可以看出，当 f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即 f(t)的频谱是 F( )，F(t)的频谱为 f( )。 若 f(t)为奇信号，即 f(t)=-f(-t)，则有 F[F(t)]=-2f( ) 利用 FT 的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。下面我们举 些例子来说明这一点。 2.6.52.6.5 尺度变换尺度变换 若F[f(t)]=F()，则 这里 a 是非零的实常数。 下面利用 FT 的定义及积分的性质，分 a0 和 a 0 时 当 a 0 时 上述两种情况可综合成如下表达式： 由上可见，若信号 f(t)在时域上压缩到原来的 1/a 倍，则其频谱在频域上将 展宽 a 倍，同时其幅度减小到原来的 1/a。 尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反 之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。对于 a=-1 的特殊情况，它说明信号在 时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。 对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明， 在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间 上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提 高了。反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑 厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。 2.6.62.6.6 时间平移时间平移( (延时延时) ) 下面进行证明 证明： 上式右边的积分项为傅里叶变换定义式， 于是可以得到 同理可以得到 2.6.72.6.7时域微分时域微分 若 F[f(t)]=F( )，则 证明：因为，两边对 t 求导，可得 所以 同理，可以推出 由上可见，在时域中 f(t)对 t 取 n 阶导数等效于在频域中 f(t)的频谱 F( ) 乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变 换，可利用此定理求出(t)的 FT 2.6.82.6.8 频域微分频域微分 若 F[f(t)]=F( )，则 证明：因为，两边分别对 求导，可得 所以 2.6.92.6.9 时域积分时域积分 可见，这与利用符号函数求得的结果一致。 频域积分频域积分 若 F[f(t)]=F( ) ，则有 时时域域卷卷积积定定理理 频域卷积定理频域卷积定理 与时域卷积定理类似， 证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。 由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。或者说， 两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以 1/2。 显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。 帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理 前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。下面我们来研究一下该定理 在 FT 中的具体表现形式。 若 F[f(t)]=F( ) ，则 这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频 域 是 守 恒 的 。 下 面 利 用FT的 定 义 和 性 质 ， 推 导 信 号 能 量 的 求 解。? 式中是信号 f(t)的总能量，为信号 f(t)的能量谱密度。 帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量 |f(t)|2 在整个 时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量 分来得到。 此定理也可以如下证明。由相关性定理可得 取 t=0，即得帕斯瓦尔定理。 /2 在整个频率范围内积