[中考专题]反比例函数与一次函数结合综合题

类型一 与一次函数结合 针对演练 1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝－x＋b 与函数 y＝k x(k≠0)的图象相交 于点 A、B，已知点 A 的坐标为(3，4)，则△AOB 的周长为( ) A. 10 B. 20 C. 10＋2 2 D. 10＋ 2 第 1 题图 第 2 题图 2. (2016 济宁)如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴 上，sin∠AOB＝4 5，反比例函数 y＝ 48 x 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交 于点 F，则△AOF 的面积等于( ) A. 60 B. 80 C. 30 D. 40 3. (2017 东营)如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点， 与反比例函数 y＝n x的图象在第一象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB＝3，OD＝6，△AOB 的面积为 3. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当 x0 时，kx＋b－n x0)． 在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OB＝2.tan∠ABO＝1 2， ∴OA＝OB·tan∠ABO＝2×1 2＝1， ∴S △BAF＝ 1 2AF·OB＝ 1 2(AO＋OF)·OB＝ 1 2×(1＋ 3 2n)×2＝1＋ 3 2n， ∵点 D 在反比例函数 y＝－ 3 2n第四象限的图象上， ∴S △DFO＝ 1 2×|－ 3 2|＝ 3 4，S△BAF＝4S△DFO， ∴1＋ 3 2n＝4× 3 4，解得 n＝ 3 4， 经验证，n＝3 4是分式方程的解， ∴点 D 的坐标为(3 4，－2)． 8. 解：(1)∵△AOB 的面积为 4, A(0，－2)， ∴1 2OA×xB＝ 1 2×2×xB＝4， ∴xB＝4， ∴B 点坐标为(4，2)， 设反比例函数关系式为 y＝k x(k≠0)， 将 B(4，2)代入得 k＝4×2＝8， ∴反比例函数关系式为 y＝8 x， 设直线 AB 的函数关系式为 y＝nx－2(n≠0)， 把 B(4，2)代入，得 4n－2＝2， ∴n＝1， ∴直线 AB 的函数关系式为 y＝x－2； (2)如解图，过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，设 AB 与 x 轴相交于点 E， 第 8 题解图 由直线 AB：y＝x－2 可得，OA＝OE＝2， ∴∠OAE＝45°， ∴OD＝OA·sin 45°＝ 2， 由 B 点坐标为(4，2)，可得 OB＝ 42＋22＝2 5， ∴sin∠OBA＝OD OB＝ 2 2 5＝ 10 10 . 9. 解：(1)过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，如解图， ∵sin∠BOC＝BD BO＝ 3 5，OB＝10， ∴BD＝6， ∴OD＝8， ∴点 B 的坐标为(8，－6)， ∵点 B 在反比例函数 y＝m x (m≠0)图象上， ∴m＝8×(－6)＝－48， ∴反比例函数解析式为 y＝－48 x ， 又∵点 A 在反比例函数 y＝－48 x 图象上， ∴n＝－ 48 －3＝16； (2)由(1)知 A(－3，16)，B(8，－6)， ∵A，B 均在一次函数 y＝kx＋b 图象上， ∴ －3k＋b＝16 8k＋b＝－6 ，解得 k＝－2 b＝10 ， ∴一次函数解析式为 y＝－2x＋10， 设 AB 与 y 轴交于点 E， 令 x＝0，则 y＝10， ∴点 E 的坐标为(0，10)，即 OE＝10， ∴S △AOB＝S△AOE＋S△EOB＝ 1 2×10×|－3|＋ 1 2×10×8＝55. 第 9 题解图 10. 解：(1)如解图所示，延长 AE，BD 交于点 C，则∠ACB＝90°， 第 10 题解图 ∵一次函数 y＝－2x＋1 的图象经过点 A(－1，m)， ∴m＝2＋1＝3， ∴A(－1，3)， ∵反比例函数 y＝k x的图象经过 A(－1，3)， ∴k＝－1×3＝－3； (2)∵BD⊥y 轴，垂足为点 D，且点 D 的坐标为(0，－2)， ∴令 y＝－2，则－2＝－2x＋1， ∴x＝3 2，即 B( 3 2，－2)， ∴C(－1，－2)， ∴AC＝3－(－2)＝5， BC＝3 2－(－1)＝ 5 2， ∴S 四边形AEDB＝S△ABC－S△CDE ＝1 2AC×BC－ 1 2CE×CD ＝1 2×5× 5 2－ 1 2×2×1 ＝21 4 . 11. 解：(1)如解图，过点 B 作 BD⊥y 轴于 D， 由 tan∠BOC＝BD OD＝ 1 3， 设 BD＝x，OD＝3x，则 OB＝ 10 x＝2 10，∴x＝2， ∴BD＝2，OD＝6， ∴B(－2，－6)， ∴m＝(－2)×(－6)＝12，则反比例函数的解析式为 y＝12 x . 由 2a＝12，得 a＝6，则点 A 的坐标为(6，2)， 由一次函数 y＝kx＋b(k≠0)得 －2k＋b＝－6 6k＋b＝2 ，解得 k＝1 b＝－4， ∴一次函数的解析式为 y＝x－4； (2)设 P 的坐标为(0，n)． 由一次函数 y＝x－4 得点 C 的坐标为(0，－4)，则 OC＝4， ∴S △AOB＝ 1 2×4×2＋ 1 2×4×6＝16. ∵S △BCP＝ 1 2×| | n＋4 ×2＝1 2S△AOB＝8， 解得 n＝4 或－12. ∴点 P 的坐标为(0，4)或(0，－12)． 第 11 题解图 12. 解：(1)∵点 A(3，1)在反比例函数 y＝m x (m≠0)图象上， ∴m＝3， ∴反比例函数的表达式为 y＝3 x； 又∵点 A(3，1)，B(0，－2)均在一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象上， ∴ 3k＋b＝1 b＝－2 ，解得 b＝－2 k＝1 ， ∴一次函数的表达式为y＝x－2； (2)如解图，设点 P 的坐标为(p，0)， 设点 C 为一次函数与 x 轴的交点， 对 y＝x－2，令 y＝0，则 x＝2，即 C(2，0)， ∴CP＝p－2， ∴S △ABP＝ 1 2CP·|yA－yB| ＝1 2(p－2)(1＋2) ＝3 2(p－2)， ∵△ABP 的面积是 3，即3 2(p－2)＝3，解得 p＝4， ∴点 P 的坐标为(4，0)． 第 12 题解图 13. 解：(1)∵正比例函数 y＝x 与反比例函数 y＝k x的图象交于点 A(－2，－2)， ∴k＝4，即反比例函数解析式为 y＝4 x， ∵正比例函数 y＝x 向上平移 3 个单位， ∴平移后的直线解析式为 y＝x＋3； (2)如解图，过 A 作 AM⊥x 轴，交 BC 于 M， ∵BC 所在直线解析式为 y＝x＋3， ∴点 C 坐标为(0，3)， ∵直线 y＝x＋3 与反比例函数 y＝4 x在第三象限内的交点为 B(－4，m)， ∴B(－4，－1)， 第 13 题解图 ∵直线 AO 向上平移 3 个单位长度得到直线 BC，∴AM＝OC＝3， ∴S △ABC＝ 1 2AM·|xB－xC|＝ 1 2×3×4＝6. 14. 解：(1)如解图，过点 A 作 AM⊥x 轴， ∵OA＝ 13，tan∠AOE＝AM OM＝