[2012考研必备资料]概率论与数理统计公式整理

1 【2012考研必备资料】概率论与数理统计公式整理 第 1 章 随机事件及其概率 （1 ）排列 组合公式 )!( ! nm m Pn m   从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 )!( ! ! nmn m Cn m   从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 （2 ）加法 和 乘 法 原 理 加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m ×n 种方法来完成。 （3 ）一些 常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4 ）随机 试 验 和 随 机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试 验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5 ）基本 事件、样本 空 间 和 事 件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母 A ，B ，C ，„表示事件，它们是的子集。 为必然事件，Ø 为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Ω ）的概率为 1 ，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 （6 ）事件 的 关 系 与 运算 ①关系： 如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分， （A发生必有事件B发生） ： BA  如果同时有 BA  ， AB  ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=B。 A 、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与B的差，记为A-B，也可 表示为A-AB或者 BA ，它表示A发生而B不发生的事件。 1 A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生， 称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A。它表示 A 不发生 的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B ∪C)=(A∪B) ∪C 分配率：(AB) ∪C=(A∪C) ∩(B ∪C) (A ∪B) ∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：       11i i i i AA BABA，BABA （7 ）概率 的 公 理 化 定义 设为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω ) =1 3° 对于两两互不相容的事件 1 A ， 2 A ，„有               11 )( i i i i APAP 常称为可列（完全）可加性。 则称 P(A)为事件 A的概率。 （8 ）古典 概型 1°  n  21,  ， 2° n PPP n 1 )()()( 21  。 设任一事件 A，它是由 m  21, 组成的，则有 P(A)=  )()()( 21m  = )()()( 21m PPP n m  基本事件总数 所包含的基本事件数A  （9 ）几何 概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A， )( )( )(   L AL AP 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 （10）加法 公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB) ＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) （11）减法 公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A= Ω 时，P(B)=1- P(B) （12）条件 概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0 ，则称 )( )( AP ABP 为事件 A 发生条件下，事 1 件 B 发生的条件概率，记为)/(ABP )( )( AP ABP 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1P( B/A)=1-P(B/A) （13）乘法 公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件 A 1 ，A 2 ，„A n ，若 P(A 1 A 2 „A n-1 )0，则有 21 (AAP „ ) n A)|()|()( 213121 AAAPAAPAP „„ 21 |(AAAP n „ ) 1n A 。 （14）独立 性 ①两个事件的独立性 设事件 A、B 满足 )()()(BPAPABP ， 则称事件A、B是相互独立的。 若事件 A、B 相互独立，且 0)(AP ，则有 )( )( )()( )( )( )|(BP AP BPAP AP ABP ABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独 立。 必然事件和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。 Ø 与任何事件都互斥。 ②多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A 、B 、C 相互独立。 对于 n 个事件类似。 （15）全概 公式 设事件 n BBB,,, 21  满足 1 ° n BBB,,, 21  两两互不相容， ),, 2 , 1(0)(niBP i  ， 2 °  n i i BA 1  ， 则有 )|()()|()()|()()( 2211nn BAPBPBAPBPBAPBPAP 。 （16）贝叶 斯公式 设事件 1 B ， 2 B ，„，n B 及 A满足 1 ° 1 B ， 2 B ，„，n B 两两互不相容， )(BiP 0， i 1 ，2 ，„，n， 2 °  n i i BA 1  ， 0)(AP ， 则    n j jj ii i BAPBP BAPBP ABP 1 )/()( )/()( )/(，i=1，2 ，„n 。 此公式即为贝叶斯公式。 )( i BP ， （ 1i ，2，„，n） ，通常叫先验概率。 )/(ABP i ， （ 1i ，2，„， n ） ，通常称为后验概率