体育单招数学圆锥曲线答案

一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) x2y2x2y2 1．椭圆 ＋ 2＝1 与双曲线 － ＝1 有相同的焦点，则 k 应满足的条件是( ) 9kk3 A．k3 C．k＝2 考点双曲线性质的应用 题点双曲线与椭圆结合的有关问题 答案C 解析由 9－k2＝k＋3，即 k2＋k－6＝0， 解得 k＝2 或－3. 又由题意知 k20， 所以 00)的虚轴长为 2， 焦距为 2 3， 则双曲线的渐近线方程为( ) ab 2 A．y＝±x 2 1 C．y＝± x 2 考点双曲线性质的应用 题点由双曲线的几何性质求方程 答案A 解析∵2b＝2,2c＝2 3，∴b＝1，c＝ 3， 则 a＝ b2 c2－b2＝ 2，∴ ＝ . a2 B．y＝± 2x D．y＝±2x 2 B. 或 2 3 23 D. 或 32 b2 故双曲线的渐近线方程为y＝± x＝±x. a2 6．M 是抛物线 y2＝2px(p0)上一点，F 为抛物线的焦点， 以 Fx 为始边，FM 为终边的角为 α， 且 α＝60°，若|FM|＝4，则 p 等于() A．1 C．3 考点抛物线的焦点弦问题 B．2 D．4 题点与焦点弦有关的其他问题 答案B 解析不妨设 M 在第一象限，过点 M 作 MN⊥x 轴，垂足为 N，计算可得|MN|＝2 3，|FN| p  2 ＝2，所以 M 的坐标为 2＋2，2 3，代入 y ＝2px(p0)，得 p＝2 或 p＝－6(舍)． 7．等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线 y2＝16x 的准线交于 A，B 两点， |AB|＝4 3，则 C 的实轴长为() A. 2B．2 2C．4D．8 考点抛物线的几何性质 题点抛物线与其他曲线结合有关问题 答案C x2y2 解析设双曲线的方程为 2－2＝1(a0)，aa 抛物线的准线为 x＝－4，且|AB|＝4 3， 故可得 A(－4,2 3)，B(－4，－2 3)， 将点 A 坐标代入双曲线方程，得a2＝4， 故 a＝2，故实轴长为 4. 8．已知点 A(0,2)，B(2,0)．若点 C 在抛物线 x2＝y 的图象上，则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为() A．4 C．2 考点直线与抛物线的位置关系 题点判断交点个数问题 答案A 解析由已知可得|AB|＝2 2，要使 S△ ABC＝2，则点 C 到直线 AB 的距离必须为 2，设 C(x， x2)，而 lAB：x＋y－2＝0， |x＋x2－2| 所以有＝ 2， 2 所以 x2＋x－2＝±2， 当 x2＋x－2＝2 时，有两个不同的C 点； 当 x2＋x－2＝－2 时，亦有两个不同的C 点． B．3 D．1 因此满足条件的 C 点有 4 个，故选 A. y2x2 9．已知双曲线 － ＝1 的两个焦点分别为F1，F2，则满足△PF1F2的周长为 6＋2 5的动点 23 P 的轨迹方程为() x2y2 A. ＋ ＝1 49 x2y2 C. ＋ ＝1 94 考点双曲线性质的应用 题点双曲线与椭圆结合的有关问题 答案B y2x2 解析∵双曲线的方程为 － ＝1， 23 ∴a2＝2，b2＝3，可得 c2＝a2＋b2＝5， y2x2 因此双曲线 － ＝1 的两个焦点分别为 F1(0，－ 5)，F2(0， 5)． 23 ∵△PF1F2的周长为 6＋2 5，|F1F2|＝2 5， ∴|PF1|＋|PF2|＝62 5， ∴点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的椭圆(上、下顶点除外)． 由椭圆的定义，得椭圆长轴长为6，长半轴长为 3， ∴该椭圆的短半轴长为 2， x2y2 ∴点 P 的轨迹方程为 ＋ ＝1(x≠0)． 49 10．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1， F2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F1PF2＝60°时，这一对相关曲 线中双曲线的离心率是() A．2 2 3 C. 3 考点双曲线性质的应用 题点双曲线与椭圆结合的有关问题 答案D 解析设|F1P|＝m，|F2P|＝n，|F1F2|＝2c， 由余弦定理，得(2c)2＝m2＋n2－2mncos 60°， B. 2 D. 3 x2y2 B. ＋ ＝1(x≠0) 49 x2y2 D. ＋ ＝1(x≠0) 94 即 4c2＝m2＋n2－mn， 设 a1是椭圆的长半轴，a2是双曲线的实半轴， 由椭圆、双曲线定义，得 m＋n＝2a1，m－n＝2a2， ∴m＝a1＋a2，n＝a1－a2， 将它们及离心率互为倒数关系代入前式得 223a2 2－4c ＋a1＝0， c c a1＝3a2，e1e2＝· ＝＝1， a1a23 解得，e2＝ 3，故选 D. 11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径 为 60 cm，灯深 40 cm，则抛物线的标准方程可能是() 25 A．y2＝x 4 45 C．x2＝－y 2 考点抛物线的标准方程 题点求抛物线方程 答案C 解析如果设抛物线的方程为 y2＝2px(p0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即 45 2p＝ ， 2 所以所求抛物线方程为 y2＝45x. 2 45 B．y2＝x 4 45 D．x2＝－y 4 c2 a2 4545 虽然选项中没有 y2＝ x，但 C 中的 2p＝ 符合题意． 22 → → 12．已知抛物线y2＝x，点A，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA·OB＝2(其中 O 为坐标 原点)，则△ABO 与△AFO 的面积之和的最小值是() 17 2 A．2B．3C.D. 10 8 考点直线与抛物线的位置关系 题点直线与抛物线相交时的其他问题 答案B 解析如图，可设 A(m2，m)， B(n2，n)，其中 m0，nb0)，c＝ 13.ab x2y2 设双曲线方程为 2－2＝1，m＝a－4.mn e双 7 ∵ ＝ ，易得 a＝7，m＝3. e椭 3 ∴b2＝36，n2＝4. x2y2 ∴椭圆的标准方程为 ＋＝1， 4936 x2y2 双曲线的标准方程为 － ＝1. 94 ②若焦点在 y 轴上， x2y2y2x2 同理可得椭圆的标准方程为＋＝1，双曲线的标准方程为 － ＝1. 364994 18．(12 分)已知双曲线 C1：x2－y 2＝1. 4 (1)求与双曲线 C1有相同焦点，且过点 P(4， 3)的双曲线 C2的标准方程； → → (2)直线 l：y＝x＋m 分别与双曲线 C1的两条渐近线相交于A，B 两点．当OA·OB＝3 时，求实 数 m 的值． 考点直线与双曲线的位置关系 题点直线与双曲线的位置关系 解(1)∵双曲线 C1：x2－y 2＝1， 4 ∴焦点坐标为( 5，0)，(－ 5，0)． x2y2 设双曲线 C2的标准方程为 2－2＝1(a0，b0)，ab ∵双曲线 C2与双曲线 C1有相同焦点，且过点 P(4， 3)， 22  a ＋b ＝5， a＝2， ∴16 3 解得 b＝1，  a2 －b 2＝1， x2 2∴双曲线 C2的标准方程为 －y ＝1. 4 (2)双曲线 C1的两条渐近线分别为 y＝