2024年人教版初中数学七年级下册 -消去适当未知元解三元一次方程组-1教案

教 案 教学基本信息 课题 消去适当未知元解三元一次方程组 学科 数学 学段： 初中 年级 初一 教材 书名：义务教育教科书数学七年级下册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1. 会解简单的三元一次方程组。 2. 通过观察、分析三元一次方程组中未知数系数的关系，根据其特征设计恰当的消元顺序及消元方法将三元一次方程组逐步转化为一次方程， 提升观察分析问题的能力。 3. 通过对方程组问题的一题多解，进一步体会化归思想，发展运算和推理能力。 重点：灵活的用代入或加减法解简单的三元一次方程组 难点：灵活的选择消元方法 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 引入 不解方程组，指出下列方程组中先消去哪个未知数，使得求解的方程组较为简便 第1题由②×2+③×7，消去z，得到方程组④，由④和①组成关于x，y的二元一次方程组； 第2题由①-②消去y，得方程④，④与③组成关于x，z的二元一次方程组， 或者由①-③消去x，得方程④，④与②组成关于y，z的二元一次方程组， 或者由②-③消去z，得方程④，④与①组成关于x，y的二元一次方程组， 追问：对上述方程组是否还有简便方法求解呢？ 观察方程组的构成特点，发现第1题方程①③中x与y的系数对应相等，因此可由 ③-①消去x与y项，求出z的值，再将z的值代入②得方程④，④与①组成关于x，y的二元一次方程组， 第2题由①+②+③，得x+y+z=30 再由④-①，④-②，④-③分别求出x，y，z 从学生的原有认知结构出发，提出问题。 在学生交流的过程中，发现消元方法的优劣，从而学会选择。 新课 本节课，我们继续来学习三元一次方程组的解法 解方程组 引导学生观察方程组中每一个方程的构成情况，提问 1. 每个方程是否有缺项 2. 怎样通过消元，使得“三元”转化为“二元”？ 方法一： 消元的方法有代入法和加减法，我们先思考一下用代入法行吗？ 看未知数x的系数，在方程②中，未知数x的系数最简单为1，所以可以将方程②变形成x=7-y-2z，这样用含未知数y、z的式子表示x，将其代入方程①得3(7-y-2z)+2y+z=13,再代入方程③到2(7-y-2z)+3y-z=12,这样就可以消去未知数x，将三元转化为二元了 方程中的某一未知数的系数绝对值是1，可以考虑用代入消元法 方法二： 换一个思路用加减法试一试 那么就要思考消去哪个未知数求解较为简便呢？ 如果选择消去x，需要①-3×② ②×2-③ 如果选择消去y，需要①-2×② ②×3-③ 如果选择消去z，需要①+③ ②+③×2 比较三种不同的消元选择，哪种消元选择更好？因为未知数z的系数更简单，所以#消去未知数z比较简便。 解三元一次方程组，当每个方程均含3个未知数时，用加减法应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数。 解题过程：①+③得，5x+5y=25记为方程④, ②+③×2得，5x+7y=31记为方程⑤,解方程④与⑤组成的方程组,得X=2，y=3,将其代入①得，z=1 这个三元一次方程组的解为x=2，y=3，z=1 练习：解方程组 通过解方程组，要熟练掌握用消元法解三元一次方程组的一般方法。 通过一题多解，引导学生观察、分析问题及灵活的解题的能力。 例题 下面我们再看一个例子，同学们可以先自己试一试 解方程组 这个方程组从形式看不是三元一次方程组，我们需要根据比例的性质，把它变成三元一次方程组的形式，然后求解。根据比例的内项积等于外项积的性质，方程②可化为3x=2y，方程③可化为5z=4y，此时可以看到未知数x和z都可以用y表示，自然可以用代入法消元。 解：由②得，x=2/3y，由③得，z=4/5y，将方程④和⑤代入方程①，得到y=45.将y=45代入④得x=30，代入⑤得z=36.这样就得到了这个方程组的解,x=30,y=45,z=36 本题还可以作如下分析，因为方程②③中均含有y，相应份数的最小公倍数为15，统一后可建立三个未知数的关系. 解：由②得，y:x=15:10,由③得，y:z=15:12,所以x:y:z=10:15:12。遇到比例问题，我们可通过设出每份数，将比例转化为具体的数值。可设x=10k,y=15k,z=12k, 代入①得，10k+15k+12k=111,k=3,则x=30,y=45,z=36. 例 在等式中，当时，；当时，；当时，.求a、b、c的值 把a、b、c看作三个未知数，分别把已知的x、y值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组 解：根据题意，得三元一次方程组 方程②－①得，a+b=1.方程③－①得，4a+b=10.方程④与⑤组成关于a，b的二元一次方程组，解之得a=3，b=-2，将a，b的值代入①求得c=-5，这样就求得了a、b、c的值 前面我们学习了很多有关一次方程组的知识，事实上我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”章，有许多关于一次方程组的内容．我想，同学们一定很好奇，古人是如何表示多元一次方程组，又是如何求解的呢？ 《九章算术》“方程”章的第一个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗； 上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗； 上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗； 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？ 算筹是中国古代的一种计算工具，有很长的使用历史。左边的算筹图就代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？ 实际上就是用算筹图列出这个方程组，它省略了各未知数，只用算筹表示出未知数的系数与相应的常数项 我国古代解方程组时也用算筹做计算工具，具体解法是在一个方程两边乘另一个方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程. 当然在未来，我们还会学习用现代高等代数的符号，将方程组的系数排成一个表.这种由数排成的表叫做矩阵。容易看出，这个矩阵与算筹图是一致的，只是用阿拉伯数字代替了算筹。利用矩阵解一次方程组的方法，与前面说的算筹方法也是一致的。我们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来要早1000多年。这是我国古代数学的一个光辉成就。 从算筹图到矩阵反映了数学逐渐进步的发展过程，在信息技术飞速发展的今天，计算机承担了大量复杂的计算。用计算机可以很容易地完成解大型方程组的任务，但消元的基本思想并未改变 体会消元法解方程组时体现的化归意识 三元一次方程组及其解法是学习二次函数的基础，这是为以后学习二次函数打基础的，在练习三元一次方程组的解题过程中，再次感受解方程组的思路是从多元向一元转化 总结 本节课主要学习了消去适当未知元解三元一次方程组，重点就在如何灵活得选择消元的方法