从记数法到复数域_数系理论的历史

从记数法到复数域：数系理论的历史从记数法到复数域：数系理论的历史 纪志刚，交通大学纪志刚，交通大学 一、 记数法、位置制和零 人类在进化的蒙昧时期，就具有了一种“识数”的才能，心理学家 称这种才能为“数觉”（perception of number ）。动物行为学家则认 为，这种“数觉”并非为人类所独有。人类智慧的卓越之处在于他们发 明了种种记数方法。 《周易·系辞下》 记载“上古结绳而治， 后世圣人， 易之以书契”。东汉玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之 多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如 希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实 物标本。直到 1826 年，英国财政部才决定停止采用符契作为法定记数 器。随着人类社会的进步，数的语言也在不断发展和完善。数系发展的 第一个里程碑出现了：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少 量的符号， 通过它们不同个数的排列， 以表示不同的数。 引起历史学家、 数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了 迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、 希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的 算筹记数系统。 最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前 3400 年埃及象形文字中就有实例,它是 10 进的， 但却不是位置的。在公元前 3000 到 2000 年之间，巴比伦人发展了 60 进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制， 却不是10进的。 而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。 法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道： 用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位 置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它 今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单 性以及对一切计算都提供了极大的方便， 才使我们的算术在一切有用的 发明中列在首位； 而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基 米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。 拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他冠戴，把这项发明归之于 印度。 现已有充分而确凿的史料证明， 10 进位位置制记数法最先产生于 中国。这一点也为西方的一些数学史家所主。 约瑟就曾指出“在西方后 来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不 过， 10 进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。 记数法 的进步是与计算工具的改进相联系的。 研究表明， 10 进位位置制记数之 产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。 “0”作为记数法中的空位， 在位置制记数的文明中是不可缺少的。 早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法， 都是留出空位而 没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最 后发展为圈号。印度数码在公元 8 世纪传入阿拉伯国家。 13 世纪初，意 大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）编著《算经》 （Liber Abacci,1202），把包括零号在完整的印度数码介绍到了欧洲。 印度数码和 10 进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学 和文明的进步中扮演了重要的角色。 二、大数记法 古代希腊人曾经提出一个问题：他们认为世界上的沙子是无穷 的，即使不是无穷，也没有一个可以写出来的数超过沙子的数。阿基米 德（Archimedes,BC287 - 212 ）的回答是：不。在《数沙术》中，阿基 米德以万（myriad）为基础，建立新的记数法，使得任何大的数都能表 示出来。 他的做法是： 从 1 起到 1 亿 （原文是万万， myriad myriads, 这 里按照中文的习惯改称为亿）叫做第1 级数；以亿（10 ）为第 2 级数 的单位，从亿到亿亿（10 ） 叫做第 2 级数；在以亿亿为单位，直到亿 亿亿（10 ） 叫做第 3 级数。直到第 1 亿级数的最后一数亿 。阿基米 德算出充满宇宙的沙子的数目不过是10 ,即使扩充到“恒星宇宙”， 即以太阳到恒星的距离为半径的天球，也不过只能容纳10 个沙粒！ 同样的问题也出现在中国古代。汉代以前，数皆10 进，以10 万位 亿。韦昭解《国语·语》第十六： “计亿事，材兆物，收经入，行垓极”。 注称“计，算也；材，裁也。贾唐说皆以万万为亿，后司农云：十万曰 亿，十亿曰兆，从古数也。”《数术记遗》中则详细记载了对大数的一 整套命名和三种进位方法。《数术记遗》称： 63 51 83亿 82 8 黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者亿、兆、京、 垓、秭、壤、沟、涧、正、载；三等者，谓上、中、下也。其下数者。 十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之， 若言万万曰亿、万万亿曰兆，万万兆曰京。上数者，数穷则变，若言万 万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。 《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了 三种记数方法， 更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限 的艰难历程。 客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越 大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有 的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速 的扩，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问： 数有穷乎？ 这是数系发展中的需要回答的重大命题。 《数术记遗》中记载的徐 岳和他的老师洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理： 徐岳问曰：数有穷乎？ 会稽（洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰 天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与 四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝 为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。 会稽问曰： 先生之言， 上数者数穷则变， 既云终于大衍， 大衍有限， 此何得无穷？ 先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理， 且有穷乎！ 天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认 识无限， 而指引这一途径的重要思想是 “言重则变” 。 即便是今日， “数 穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。 三、三、 有理数系有理数系 位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文 字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数 系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系 的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密 的数系[2] ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整 数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只 能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于 分数和负数的出现而得以弥补。 有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60 进位的，