4数学归纳法导学案

4.44.4 数学归纳法数学归纳法导学案导学案 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 重点：用数学归纳法证明数学命题 难点：数学归纳法的原理. 数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: * 归纳奠基→证明当 n 取第一个值 n (n ∈N N )时命题成立 00 * 归纳递推→以当“n=k(k≥n ,k∈N N )时命题成立”为条件, 0 推出“当 n=k+1 时命题也成立” 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n 开始的所有正整数 n 都成立.这种证明方法叫做数学归 0 纳法. 一、一、新知探究新知探究 在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{𝑎𝑛}的通项公 式𝑎𝑛= 𝑎1+ (𝑛− 1) 𝑑等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数𝑛有关的问题 ，我们怎样证明它对每一个正整数𝑛都成立呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法-----数学归 纳法 探究探究 1.1. 已知数列{𝑎𝑛}满足，𝑎1= 1, 𝑎𝑛+1= 1 2−𝑎𝑛 (n ∈ 𝑁∗) 计算𝑎2， 𝑎3， 𝑎4，猜想其通项公式，并证明你的猜想. 问题 1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒 下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1 块骨牌，就可导致第2 块骨牌倒下；而第 2 块骨牌倒下，就可导致第3 块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。 问题 1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？ 问题 2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？ 探究探究 2.2. 你认为证明前面的猜想 “数列的通项公式是𝑎𝑛= 1 (n ∈ 𝑁∗)”与上述多米诺骨牌游戏有相似 性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 二、典例解析二、典例解析 例例 1. 1.用数学归纳法证明：如果{𝑎𝑛}是一个公差为d的等差数列，那么， 𝑎𝑛= 𝑎1+(𝑛− 1)d① 对任何n ∈ 𝑁∗都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点: (1)弄清 n 取第一个值 n 时等式两端项的情况; 0 (2)弄清从 n=k 到 n=k+1 等式两端增加了哪些项,减少了哪些项; (3)证明 n=k+1 时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝 n=k+1 证明目标的表达式 变形. 跟踪训练跟踪训练 1 1 求证:1+− +…+ 234 1111 2𝑛-1 1 − 1 2𝑛 = 1 𝑛+1 + 1 𝑛+2+…+ (n∈N N*). 2𝑛 1 例 2 2 已知数列 1 1×4 4×7 7×10 , 1 , 1 ,…, (3𝑛-2)(3𝑛+1),…,计算 S1,S2,S3,S4,根据 计算结果,猜想 S 的表达式,并用数学归纳法进行证明. n (1)“归纳—猜想—证明”的一般环节 (2)“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式,求通项或前 n 项和. ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在. ③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n 都成立的一般性命题. 跟踪训练 2 2 数列{a }满足 S =2n-a (S 为数列{a }的前 n 项和),先计算数列的前 4 项,再猜想 a ,并证 nnnnnn 明. 1.用数学归纳法证明 () A.1B.1+a 1-𝑎 1+a+a2+…+a n+1 = 𝑛+2 1-𝑎 (a≠1,n∈N*),在验证 n=1 成立时,左边计算所得的项是 C.1+a+a 2 D.1+a+a +a 23 2.用数学归纳法证明 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是 () A.(2k+1)+(2k+2)B.(2k-1)+(2k+1) C.(2k+2)+(2k+3)D.(2k+2)+(2k+4) 3.已知 f(n)=1+ 2 + 3+ +…+𝑛(n∈N *),计算得 f(2)= 2,f(4)2,f(8)2,f(16)3,f(32)2,由此推测,当 n2 时, 有. 4.用数学归纳法证明: 22 + 32+…+(𝑛+1)2 2 − 𝑛+2.假设 n=k 时,不等式成立,则当 n=k+1 时,应推证的目 标不等式是. 5.用数学归纳法证明:当 n≥2,n∈N*时,(1- 4)(1-9)(116)…(1𝑛2)=2𝑛 . 1111𝑛+1 11111 111357 参考答案：参考答案： 知识梳理知识梳理 学习过程学习过程 一、新知探究一、新知探究 探究探究 1. 1. 分析：计算可得𝑎2= 1， 𝑎3= 1， 𝑎4= 1，再结合𝑎1= 1，由此猜想： 𝑎1= 1(n∈ 𝑁∗) 如何证明这个猜想呢？ 思路 1.我们可以从开始一个个往下验证。 一般来说，与正整数n有关的命题，当比较小时可以逐个验 证，但n当较大时，验证起来会很麻烦。特别当n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能 的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。 问题 2： 可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k 块倒下， 相邻的第 k+1 块也倒下。 探究探究 2. 2. （1）第一块骨牌倒下； （2）若第 K 块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1 块骨牌也倒下 根 据 （ 1 ） 和 （ 2 ） ， 可 知 不 论 有 多 少 块 骨 牌 ， 都 能 全 部 倒 下 。 （1）当 n=1 时猜想成立； 𝑎1= 1 （2）若 n=k 时猜想成立, 即𝑎𝑘= 1, 𝑎𝑘1= 1 2𝑎 𝑘 =1, 猜 想 也 成 立 ， 则 当 n = k + 1 时 , 所 以 ， 对 于 任 意 二、典例解析二、典例解析 例例 1. 1.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数， 所以用数学归纳法证明的第一步应证明𝑛 = 1 时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果𝑛 = 𝑘时, ①式正确的，那么𝑛 = 𝑘1时①式也是正确的. 证明：（1）当𝑛 = 𝑘时，左边= 𝑎1，右边= 𝑎10× 𝑑 = 𝑎1,①式成立. （2）假设当𝑛 = 𝑘(k ∈ 𝑁∗)时， ①式成立，即 根 据 （ 1 ） 和 （ 2 ） ， 可 知 对 任 意 的 正 整 数 n ， 猜 想 都 成 立 . 正整数n，猜想都成立，即数列{𝑎𝑛}的通项公式是𝑎𝑛= 1. 𝑎𝑘= 𝑎1+(𝑘− 1)d 根据等差数列的定义，有 𝑎𝑘+1− 𝑎𝑘= d, 于是𝑎𝑘+1= 𝑎𝑘+d = [𝑎1+ (𝑘− 1)d ] + d = 𝑎1+ [(𝑘− 1) + 1 ]d = 𝑎1+ [(𝑘+ 1) − 1 ]d 即当𝑛 = 𝑘+ 1时， ①式也成立 由（1）（2）可知， ①式对任何n ∈ 𝑁∗都成立 跟踪训练跟踪训练 1 1 证明:①当 n=1 时,左边=1= ,右边= ,所以