2021天津大学数学竞赛试题解答理工类

20212021 年天津市大学数学竞赛试题解答及评分标年天津市大学数学竞赛试题解答及评分标 准准 （理工类）（理工类） 一. 填空题（本题 15 分，每小题 3 分）: (1). a  b, 则lim x 0sin bx  sin ax ebx eax 1. ebx eaxe x 解: 利用 Cauchy 中值定理, 得到lim  lim  1. x 0sin bx  sin axx0cosx (2). 设函数f (x)在[0,1]上连续, 并设 1 0 f (x)dx  2, 则  dx 0 11 x f (x) f (y)dy  1 2. 11y1x 解: 11 I  0 dx x f (x)f (y)dy  0 f (x)dx x f (y)dy  0 f (y)dy 0 f (x)dx  0 f (x)dx 0 f ( y)dy 11x1 1 1 1 1 I f (x)dxf (y)dy f (x)dxf (y)dy f (x)dxf (y)dy  2. x000 2 0 2 0  3 x  (3). f (x)在区间(,)上连续, 且对任意给定的实数, 有g(x)  常值函数, 则函数f (x)的表达式为  x f (t)dt为 f (x)  0 . 解:0  g( x)  3 f ( 3x)  f ( x), 代入x  0, 得到3 f ()  f (0), 以及 0, 得到f (0)  0和f ()  0. (4). 曲线 y  f (x)  2 , 记其在点(1,1)处的切线与x轴交点为( xn,0), 则 2n1 x . lim x  n n  1 2 n 1     4nx (x) ,f (1) 解 : f  n, 因此在点(1,1)处的切线方程为y1n(x1), 2 n2(1  x) 1 与x轴交点为(xn,0)满足xn1, 因此limxn 1. n  n 2  2cosx , x  0,1  2f (x)  则f(0)  .x (5). 6 x  0, 1,  解: 显然f ( x)是连续函数, 则在x  0时, 22 x2x4 x 5f (x) (1 cosx)  11 o(x )   1 o(x3) 12  2!4!  x2x2  1 利用函数的连续性以及导数的极限和可导的关系等性质,得到f (0)  . 6 2 二. 选择题（本题 15 分，每小题 3 分）: 1.函数f (x)在x点的邻域内有定义, 且lim f (x  2h) f (x 0 h) h  2, 则f (x)在x点 0 () h0 0 (A)不连续.(B)f ( x 0 )  2.(C) 连续, 不可导,(D) 条件不足, 无法确定连续 性和可导性. 答.(D). 因为条件不能保证函数在x0点连续, 因此可导性也无从谈起, 因此答案为 D. 2.设函数f (x)在区间(0,)上有连续的导数, 且满足limf (x)f(x)1, 则 ( x  ) (A)lim f ( x)  0. (B)lim f (x)不能判断.(C)lim f ( x)不能判断. (D) 以上都不正确. xx x  答: (A) x  利用L’Hospital 法则得到lim f (x) lim e f ( x) lim  x x ex x ex exf(x) f(x)  1, 因此得到 A 是正确的. 3.考虑关于数列的描述: (1)对于数列{a n}, 如果{a2n }和{a 2n1} 都是收敛的, 则该数列一定是收敛的; (2) 数列{an}, 如果数列a n1 a n 收敛于0, 则数列{an}是收敛的; (3){an}的极限为0和数列{an}的极限为0是等价的; (4) 数列{an}收敛, 数列{bn}有界, 则数列{anbn}是收敛的. 其中正确的结论个数为 (A) 1.(B)2.(C)3.(D)4. 答: (A) (3)是正确的, 其它论述是不正确的, 因此答案是 A. 4.已知函数f (x, y)  e (x  y  2x), 则它在点(1,0)处取 (A) 极小值1.(B) 极大值1.(C) 不取极值.(D) 取极大值1. 答: (A). y2 () () y2 (x  y  2x  1), , 得到f (x,y)  ey(x2 y  2x), ,f x (x, y)  ey(2x  2), ,f y (x,y)  e 驻点为(1,0), 此时函数值为1, 进一步fxx(x, y)  2e, , f xy (x, y)  e (2x  2), , y2f yy (x,y)  e (x  y  2x  2), , 代入驻点的值, 得到f (1,0) 2, xx yy f xy (1,0)  0, , f yy (1,0)  1, , 因此函数取极小值1. 1 2 e  tanx 5.设函数f (x) , 则x  0是函数f (x)的 2x 1 ex x () (A) 无穷间断点.(B) 跳跃间断点.(C)可去间断点.(D)以上都不正确. 答答: :(C) 函数f ( x)在x  0的左右极限存在且相等, 因此是可去间断点. 2f  6x, f (0, y)  y, 2 三.（本题6 分）设函数z  f (x, y),f (0, y)  1  y, 求函 2x x 数f ( x, y). 2 ff  f 2  6x, 得到( x, y)  3x2 y, , 解: 由 3x  g( y) , , x2xx …………3 分 因此f ( x, y)  x  xy  h( y), , 带入条件, 得到h( y)  1  y, , 32 f ( x, y)  x3 xy  y21. . 四. （本题 6 分）证明 ………….6分      1 1 20171 x   x2017 0 解: 令1    111  dx1  ….  2017 23   2017 x  t, 则有 2017 1 1  2017 1 dt 11 t2017    0 2017 x   x2017 dx 0 1 t   1 22016 111  .…t )dt1…(1tt 0 232017 …3 分 ……6 分 五.（本题 6 分）设f (x)为[a,b]上取正值的连续函数,D为a  x  b, a  y  b. 证明  f ( y) D f ( x) dxdy  (b  a)2. f (y) 1  f (f (y)f (x)x