数学模型第三版课后习题答案

《数学模型》作业解答《数学模型》作业解答 第七章（第七章（20082008 年年 1212 月月 4 4 日）日） 1． 对于节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以 第k 1时段的价格y k1 由第k 1和第k时段的数量x k 1 和x k 决定，如果仍设x k1 仍只取 决于y k ，给出稳定平衡的条件，并与节的结果进行比较. （2）若除了y k1 由x k 1 和x k 决定之外，x k 1 也由前两个时段的价格y k 和y k1 确定.试分 析稳定平衡的条件是否还会放宽. 解：解： （1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为： x x k   y k 1  f ( k 1) 2 x k 1  h( y k )  在P 0 (x 0 , y 0 )点附近用直线来近似曲线f ,h，得到 x x k   y k 1  y 0  (k 1 x 0 ), 0 (1) 2  0 (2) x k 1  x 0 ( y k  y 0 ) , 由（2）得 x k2  x 0  (y k1  y 0 )(3) （1）代入（3）得 x k2  x 0  ( x k1  x k x 0 ) 2 2x k2 x k1 x k  2x 0  2x 0 对应齐次方程的特征方程为 2 0 2 特征根为 1,2 ()28  4 当 8时，则有特征根在单位圆外，设 8，则  1,2 ()28 ()  2424  2  1,2 1 2 即平衡稳定的条件为  2与P207的结果一致. （2）此时需求函数、供应函数在P 0 (x 0 , y 0 )处附近的直线近似表达式分别为： x k1  x k  y y ( x 0 ), 0  (4) 0  k1 2  y k  y k 1 x k1  x 0 ( y 0 ) , 0 (5) 2 由（5）得，2(xk3 x0)  β(y k2  y 0  y k1  y 0 )(6) 将（4）代入（6） ，得 2(x k3  x 0 ) (   x k2  x k1 x x k   x 0 )(k1 x 0 ) 22  4x k 3 x k 2  2x k 1 x k  4x 0  4x 0 对应齐次方程的特征方程为 4 2 0(7) 代数方程（7）无正实根，且, 别为1,2,3，则 32 αβ 不是（7）的根.设（7）的三个非零根分 ,  24     23  1 4        122331 2     123    4  对（7）作变换： 3   12 , 则  p q  0, 1221 83322 ), q () 其中 p (2 34124126  q  1  3  2   q 用卡丹公式：2 w3 2   q 2 3  w  3 2   其中w  qpqqp ( )2()3 3 ( )2()3 23223 qpqqp ( )2()3 w23( )2()3 23223 qpqqp ( )2()3 w3( )2()3 23223 1i 3 , 2 求出1,2,3，从而得到1,2,3，于是得到所有特征根 1的条件. 2．已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和y k ，其中 1 个时段相当于商品的一个生 产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为 y k  f (x k )和x k1  g( 立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk f (xk)和xk1 g( y k  y k1).试建 2 y k  y k1). 2 设曲线f和g相交于点P 0 (x 0 , y 0 )，在点P 0 附近可以用直线来近似表示曲线f和g： y k  y 0   (x k  x 0 ), 0 ----------------------（1） x k1  x 0 ( y k  y k1 y 0 ), 0 --------------------（2） 2 从上述两式中消去y k 可得 2x k2 x k1 x k  2(1)x 0 , k 1,2,， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求P 0 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程： 2 0 容易算出其特征根为 2  1,2 ()28 ---------------（4） 4 当 8 时，显然有 ()28 -----------（5）  2   44 从而 2 2， 2在单位圆外．下面设  8，由(5)式可以算出 1,2  要使特征根均在单位圆内，即  2  1,2 1，必须 2． 故P 0 点稳定平衡条件为  2． 3． 已知某商品在k时段的数量和价格分别为xk和y k ，其中1 个时段相当于商品的一个生 产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f ( 立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为yk1 f ( x k1  x k)和x k1  g(y k ).试建 2 x k1  x k)和x k1  g(y k ). 2 设曲线f和g相交于点P 0 (x 0 , y 0 )，在点P 0 附近可以用直线来近似表示曲线f和g： y k1  y 0  ( x k1  x k x 0 ), 0 --------------------（1） 2 x k1  x 0  (y k  y 0 ), 0 --- ----------------（2） 由（2）得 x k2  x 0 (y k1  y 0 ) --------------------（3） （1）代入（3） ，可得xk2 x0 ( x k1  x k x 0 ) 2 2x k2 x k1 x k  2x 0  2x 0 , k 1,2,， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐