完整圆内接四边形及四点共圆-教学案有答案

(完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 《圆内接四边形与四点共圆（选学)》教案设计 引言:圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系 ,•这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边 形。实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，这时就需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找 出来,然后再借助圆的性质得到要证明的结论. 确定四点共圆的办法有哪些呢？ 思路一： 用圆的定义用圆的定义： 到某定点的距离相等的所有点共圆。若连在四边形的三边的中垂线相交于一点， 那么这个四边形的四个顶点共圆.（这三边的中垂线的交点就是圆心） 。 产生原因:圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。 基本模型： AO=BO=CO=DO A、B、C、D 四点共圆(O 为圆心） 思路二： 从被证共圆的四点中选出三点作一个圆， 然后证另一个点也在这个圆上， 即可证明这四点共圆。 要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上. 思路三：运用有关性质和定理： ①对角互补，四点共圆对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。 产生原因:圆内接四边形的对角互补. 基本模型: A D 1800（或B  D 1800） A、B、C、D 四点共圆 ②张角相等，四点共圆张角相等，四点共圆:线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个 端点共四个点共圆。 产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。 方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形 ,且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其 顶角(即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等） ，从而即可肯定这四点共圆。 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) CAB  CDB A、B、C、D 四点共圆 ③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。 产生原因：直径所对的圆周角是直角。 C  D  900 A、B、C、D 四点共圆 ④外角等于内对角,四点共圆:有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆. 产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角. 基本模型： ECD  B A、B、C、D 四点共圆 ⑤用相交弦定理或切割线定理的逆定理： 把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯 定这四点共圆。(相交弦定理的逆定理） 产生原因：相交弦定理. 基本模型： 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) AE • BE  CE • DE A、B、C、D 四点共圆 把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积 等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积,即可肯定这四点也共圆．(割线定理的逆定理) 产生原因：割线定理. 基本模型： EA• EB  ED • EC A、B、C、D 四点共圆 二、新课探究 例 1、如图，AD、BE、CF 是锐角ABC的三条高，H 为垂心。 （1）图中共有多少组四点共圆？ （2）求证：ADF  ADE。 分析: 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 练习：锐角△ABC 的三条高 AD、BE、CF 交于 H，在 A、B、C、D、E、F、H 七个点中，能组成四点共圆的组数 是（） A、4 组 B、5 组 C、6 组 D、7 组 分析： 例 2、已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C 为直角，延 作圆，连 BD 与圆 O 交于点 E，连 CE,CE 的延长线交圆 的值等于________。 长CA至D,以AD为直径 BD O 于另一点 F， 那么 CF 分析：2 理由： 教师小结：在四点共圆的题目的已知条件中,通常没有给出圆,这时就需要通过证明四点共圆，把存在的圆找 出来,然后再借助圆的性质进行相应的推导。 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 练习:（2011 湖北武汉中考题改编）如图，在菱形ABCD 中，AB=BD，点 E,F 分别在 AB，AD 上,且 AE=DF.连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H，则四边形 BCDG 的面积（记作：S 四边形BCDG）与边 CG 的 关系是__________。 分析：S 四 边 形BCDG= 3 2 CG 4 理由：∵∠BGE=∠ BDG+∠ DBF=∠ BDG+∠ GDF=60°=∠BCD ， ∴点 B、C、D、G 四点共圆， ∴∠BGC=∠ BDC=60°， ∠DGC=∠ DBC=60°。 ∴∠BGC=∠ DGC=60° . 过点 C 作 CM⊥ GB 于 M，CN⊥ GD 于 N． 则△CBM≌ △CDN（ HL） 。 ∴S 四 边 形 BCDG=S四 边 形 CMGN，S四 边 形 CMGN=2S△ CMG。 ∴S 四 边 形 31 CG,CM=CG, 22 3311 2 ×CG×CG=CG . CMGN=2S△ CMG=2× 2422 ∵∠CGM=60°， ∴GM= 例 3如图，锐角ABC中，A  600，且 O、I、H 分别为ABC的外心、内心和垂心。求证：OI=IH。 分析： 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 连结 AO、AI、OC、IC、HC. 练习:如图，四边形A 1 A 2 A 3 A 4 内接于一圆，△A 1 A 2 A 3 的内心是I 1 ，△A 2 A 3 A 4 的内心是I 2 ，△A 3 A 4 A 1的内心 是I 3 。 求证：(1）A 2 、I 1、I2 、A 3四点共圆； （2）∠ I 1I2 I 3 =90°。 分析： 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 三、反馈训练 如图，O 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点，CH⊥AB 于 H，延长 CH 至 D,使得 CH=DH，F 为 CO 上任意一点，过 B 作 BE⊥AF 于 E,连接 DE 交 BC 于 G。求证:∠CAF=∠CDE； 分析： 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 四、课外拓展 1、已知△ABC 中，∠ACB=90°，AB 边上的高线 CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM、BN 分别交于 P、Q 两点， PM、QN 的中点分别为 E、F，求证：EF∥AB. 2、如图所示，I 为△ABC 的内心，求证:△BIC 的外心 O 与 A、B、C 四点共圆。 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 3、如图，BD,CE 是△ABC 的两条高，F 和 G 分别是 DE 和 BC 的中点，O 是△ABC 的外心．求证:AO∥FG. 题单 学习 参考资料 分享 (完整)圆内接四边形及四点共圆-教学案(有答案) 1、若一个圆经过梯形 ABCD 的四个顶点，则这个梯形是_________梯形。 分析： 2、 、如图，已知△ABC 中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且