材料力学压杆稳定习题解

创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 第九章第九章 压杆稳定压杆稳定 习题解习题解 [ [习题习题 9-1]9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆， 按图 a 所示坐标系及挠 度曲线形状，导出了临界应力公式P cr  2EI l2 。试分析当分别取图 b,c,d 所示坐标 系及挠曲线形状时，压杆在Fcr作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同， 由此所得Fcr公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同， 1 都是 EIw“ M(x)。（c）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： EIw“ M(x)，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠 曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： P cr  2EI l2 。 [ [习题习题 9-2]9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小 （图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 2EI 解：：压杆能承受的临界压力为：P cr  。由这公式可知，对于材料和截面相同 (.l)2 的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度 l 的平方成反比，其中，为与约 束情况有关的长度系数。 （a）l 15  5m （b）l  0.77  4.9m （c）l  0.59  4.5m 2 （d）l  22  4m （e）l 18  8m （f）l  0.75  3.5m（下段）；l  0.55  2.5m（上段） 故图 e 所示杆F cr 最小，图 f 所示杆F cr 最大。 [ [习题习题 9-3]9-3] 图 a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放 在弹性地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均 为P cr  2EI min (2.l)2 ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于 2。 螺旋千斤顶（图 c）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定 性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆是否偏于安 全？ 解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以 它们的临界力计算公式不同。 (b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素  2，其临界力为：P cr  2EI min (2.l)2 。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的 情况，它的长度因素 2，因此，不能用P cr  2EI min (2.l)2 来计算临界力。 3 为了考察（ a）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B）的转动刚度 C  M   20 EI ，且无侧向位移，则： l EIw“ M(x)  F cr ( w) 令 F cr k2，得：w“ k2w  k2 EI 微分方程的通解为：w  Asinkx  Bcoskx  w  Akcoskx  Bksinkx 由边界条件：x  0，w  0，w  MF cr ；x  l，w  CC 解得： A  F cr F ，B  ， crsinkl coskl  CkCk 整理后得到稳定方程：kltankl  C  20 EI /l 用试算法得：kl 1.496 EI 2EI 故得到压杆的临界力：Fcr (1.496)。 2l(2.1l) 2 4 因此，长度因素可以大于 2。这与弹性支座的转动刚度C 有关，C 越小，则值 越大。当C  0时， 。 螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来 维持相对的静止。 当轴向压力不是很大， 或地面较滑时， 底座与地面之间有相对滑动， 此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对 滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下 端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。 这种情况， 2， 算出来的临界力比 “把 它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l的压杆”算出来的临界力要 小。譬如，设转动刚度C  M   20 EI P2 l ，则： cr固端 P  2.1 2 1.1025， cr弹簧 2 P cr固端 1.1025P cr,弹簧 。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座 上）、上端自由、长度为l的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。 [ [习题习题 9-4]9-4] 试推导两端固定、弯曲刚度为EI，长度为l的等截面中心受压直杆的临 界应力P cr 的欧拉公式。 [ [解解] ]：：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反 力为P cr ，水平反力为 0，约束反力偶矩两端相等，用M e 表示， 下标e表示端部 end 的意思。 若取下截离体为研究对象， 则M e 的 转向为逆转。 M(x)  P cr v(x)  M e EIv“ M(x)  M e  P cr v(x) EIv“ P cr v(x)  M e “ P2 v cr EI v(x)  M e2 P cr k1 EI ，令k  EI ，则 P  cr EI v“ k2v  k2 M e P cr 上述微分方程的通解为： v  Asinkx  Bcoskx  M e P …………………………….(a) cr v  Akcoskx  Bksinkx 5 边界条件：①x  0；v  0： 0  Asin0 Bcos0 M e M ；B   e 。 P cr P cr ②x  0v  0：0  Akcos0 Bksin0；A  0。 把 A、B 的值代入（a）得： v  创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* M e M (1coskx)v eksinkx P cr P cr 边界条件：③x  L；v  0：0  M e(1coskL)，1coskL  0 P cr M eksinkLsinkL  0 P cr ④x  0 v  0：0  以上两式均要求：kL  2n，(n  0,1,3,) P cr 2 2 2 其最小解是：kL  2，或k 。故有：k，因此： 2LEI(0.5L) P cr  2EI (0.5L)2 。 [ [习题习题 9-5]9-5] 长5m的 10 号工字钢，在温度为0 C时安装在两个固定支座之间，这时 701 杆不受力。已知钢的线膨胀系数 l 12510( C) ，E  210GPa。试问当温度 0 升高至多少度时，杆将丧失稳定性？ 解： 6 [ [习题习题 9-6]9