比例的性质

. 比比的的 性性 质质 或许你在某个地方听说过比，可你是否解比呢？我想没或许你在某个地方听说过比，可你是否解比呢？我想没 有。来吧，跟随我们的脚步，跨入比的大门！首先我们来解么有。来吧，跟随我们的脚步，跨入比的大门！首先我们来解么 是比。是比。 么是比？么是比？ 比：两个数相除又叫做两个数的比 比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。 比只有两个项：比的前项和后项。 比是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。 知道么是比，接下来就是有趣的——比的性质知道么是比，接下来就是有趣的——比的性质 一、合比性质一、合比性质 1 1、合比性质的用途、合比性质的用途 合比性质是数学分数计算中常用的性质之一， 属于合分比性质中的三大性质 之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。主要运用于三角函数三角函数等计算。 2 2、合比性质的表达、合比性质的表达 文字：在一个比，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比 的前后项的和与它的后项的比，这称为比中的合比定，这种性质称为合比性 质。 字母：已知，且有，如果，则有 。 . . 3 3、推导过程、推导过程 4 4、典型例题、典型例题 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，EF 是 AD 的垂直平分线且交 AB 于 E，交 BC 的延长线于 F，求证：DC·DF=BD·CF 分析分析： 欲证：DC·DF=BD·CF 即证：DC/CF=BD/DF 即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF 若连结 AF，则 AF=DF 故即证：AF/CF=BF/AF 只需证△FAB∽△FCA 证明证明： . . 连结 AF，则 AF=DF，∠FAD=∠FDA ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴AF=DF ∴∠FDA=∠FAD 又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD ∴∠B=∠CAF ∴△FAB∽△FCA。 二、分比性质二、分比性质 1 1、表达、表达 文字：在一个比等式中，第一个比的前后项之差与第一个比的后项 的比，等于第二个比的前后项之差与第二个比的后项的比。 字 母 ： 已 知， 且 有， 如 果， 则 有 。 2 2、推导过程、推导过程 三、合分比性质三、合分比性质 1 1、表述、表述 . . 文字： 在一个比等式中， 第一个比的前后项之和与第一个比的前后项 之差的比，等于第二个比的前后项之和与第二个比的前后项之差的比。 字母：已知 。 ，且有，如果，则有 2 2、推导过程、推导过程 则 四、等比性质四、等比性质 1 1、表达、表达 文字：在一个比等式中，两前项之和与两后项之和的比与原比相等 . . 字母：已知 。 ，且有，如果，则有 2 2、推导过程、推导过程 证法一证法一 ，则 证法二证法二 由合比性质 . . 即 3 3、推论、推论 已知，且有，如果 ，则有 五、比性质五、比性质 1 1、表达、表达 文字： 把一个比的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是 比. 字母：如果 a/b=c/d 那么 a/c=b/d（b、d≠0） 2 2、推导过程、推导过程 a/b=c/d等号两边同乘 bd得 ad=cb同除 dc 得 a/c=b/d 、外项的积等于内项的积、外项的积等于内项的积 1 1、表达、表达 文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比的基本性质。 字母：如果（，，，等于），那么＝． . . 2 2、推导过程、推导过程 用去乘的两边，得·bd＝·，所以＝． 3 3、深层推导、深层推导 如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数可以组成比，用 式子表示就是：如果＝，那么（、等于）．这是 因为用去除 d＝两边，得，所以．如果、也 等于，那么，我们还可以分别用、、去除＝两边， 得到另外同的三个比，．如果把上述四式等号的左右 两边对调，那么又可以得到另外的四个比：． 这就是说，如果两个数的积等于另外两个数的积，那么这四个数就可以组 成八个比．这八个比的形式同，也就是各个数在比中的位置同． 根据比的性质还可以得出： 已知比中的任意三项，就可以求出另外一 项．如，由4∶5＝8∶，得4＝5×8，＝10．求比中的未知项，叫做 解比． .