比的知识点

一、主要内容：一、主要内容： 比的意义和基本性质、按比例分配问题 二、学习目标：二、学习目标： 1、了解比的意义，掌握比的读、写方法，知道比的各部分名称以及比与分数、除 法的关系。 2、理解并掌握比的基本性质，能应用比的意义和基本性质求比值、化简比，能应 用比的知识解答按比例分配的实际问题。 3、经历比的概念的抽象过程，经历探索比与分数、除法的关系以及比的基本性质 的过程，积累数学活动的经验，进一步体会数学知识之间内在联系，培养观察、比较、 抽象、概括以及推理的能力。 三、考点分析：三、考点分析： 1、两个数相除又叫做两个数的比。如：3÷2 也就是 3:2。比的前项除以后项所得 的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。 3:2 的 比值是 1.5。 2、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；同分 数比较，比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。 3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的 基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。 4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是 一个数，化简比的结果一定要是一个比。 5、把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。 四、典型例题四、典型例题 例例 1 1、、 （重点展示）（重点展示）从甲地到乙地共 300 千米，甲车要行 8 小时，乙车要行 6 小时。甲 车所行的路程与所用时间的比是 （） ， 比值是 （） ； 乙车所行的路程与所用时间的比是 （） ， 比值是（） 。 分析与解：分析与解：求哪两个量的比就把这两个量按先后顺序写下来， 再在中间添上比号。 求比 值，就用前项除以后项。 从甲地到乙地共 300 千米，甲车要行 8 小时，乙车要行 6 小时。甲车所行的路程与 所用时间的比是 （300:8） ， 比值是 （37.5） ； 乙车所行的路程与所用时间的比是 （300:6） ， 比值是（50） 。 点评：比与除法、分数之间有着密切的联系。但不不是说，它们之间是等同的。它们之 间的区别是：比是两个量之间的关系，除法是一种运算，而分数是一个数。 在理解意义 的时候要注意区分。 比与除法、分数之间的联系 比（2:5） 分数（ 前项 分子 比号（:） 分数线（-） 后项 分母 比值 分数值 2 ） 5 除法（2÷5）被除数除号（÷）除数商 例例 2 2、、 （重点展示）化简。（重点展示）化简。 （1）20:25（2）0.3:0.27（3） 32 : 43 分析与解：分析与解：根据比的基本性质，第（1）题比的前项和后项直接除以5；第（2）题要先 把前项和后项同时乘 100， 再化简； 第 （3）题要将比的前项和后项同时乘12， 再化简。 正确解答：正确解答： （1）20:25 = （20÷5）:（25÷5）= 4:5 （2）0.3:0.27 = （0.3×100）:（0.27×100）= 30:27 =（30÷3）:（27÷3）=10:9 （3） 3232 := （×12）:（×12）= 9:8 4343 点评： 在化简过程中， 如果比的前项和后项都是整数， 那就同时除以它们的最大公约数； 如果前项和后项是小数或是分数，先将它们同时乘一个数化成整数，再化简。要注意： 最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。 例例 3 3、、 （误点诊所）化简。（误点诊所）化简。 （（1 1））0.4:0.16（2） 32 : 45 32 : 45 32 = 4 : 16 =× 45 3 = 1 : 4 = 10 错误解法：错误解法： （（1 1））04 : 0.16（2） 分析与解：分析与解：将比的前项和后项同时乘或除以同一个数，进行化简。 32 : 45 32 = 40 : 16 = （×20）:（×20） 45 （（1 1））0.4 : 0.16（2） = 5 : 2 = 15 : 8 点评：第（1）题两个小数，一个是两位小数，一个是一位小数，要将两个数同时乘 100 化成整数，再化简，而不能一个乘10，一个乘 100，那样比的大小就改变了；第（2） 题不能为了约分而用乘法，应该将比的前项和后项同时乘12，化成整数比，再化简。 例例 4 4、、 （难点突破）（难点突破） 分析与解：分析与解：把 8 的前项加上 8，如果要使比值不变，后项应该加上（） 。 15 8 的前项增加 8，之后前项就变成了 16，相当于前项乘了 2，要使比值 15 不变，后项也应当乘 2，变成 30，后项应该加上 15。 8 的前项加上 8，如果要使比值不变，后项应该加上（ 15） 。 15 点评： 比的基本性质中讲的是前项和后项同时乘或除以相同的数 （0 除外） ， 比值不变。 加上 8，就要把这种加法之间的关系转化为乘法，再去判断。 例例 5 5、、 （重点展示）（重点展示）公园里柳树和杨树的课数比是5:3，柳树和杨树共 40 棵。柳树和杨 树各多少棵？ 分析与解：分析与解：公园里柳树和杨树的课数比是 5:3，也就是 40 棵树中，柳树占 5 份，杨树 占 3 份，一共是（5+3）份，即柳树占总棵数的 53 ，杨树占总棵数的。 5353 5 = 25（棵） 53 3 杨树的棵数：40× = 15（棵） 53 柳树的棵数：40× 答：柳树有 25 棵，杨树有 15 棵。 点评：在解答按比例分配应用题时，还可以直接用份数来解。这道题目通过分析，已经 知道柳树和杨树共 8 份，就可以用 40÷8，求出每份有 5 棵，柳树有 5 份，用 5×5=25 （棵） ，求出柳树的棵数。同样，用5×3=15（棵） ，求出杨树的棵数。 例例 6 6、、 （误点诊所）（误点诊所）商店运来一批洗衣机，卖出24 台，卖出的台数与剩下的台数的比是 3:5，这批洗衣机一共有多少台？ 错误解法：错误解法：24÷3×5=40（台） 分析与解：分析与解：卖出的台数与剩下的台数的比是3:5，即卖出的台数是3 份，剩下的台数是 5 份， 这批洗衣机的总台数是8 份。 24 台对应的份数是 3 份， 可以先求出每份是多少台， 再求 8 份是多少台。 24÷3×（5+3）=64（台） 答：这批洗衣机一共有 64 台。 点评： 在用份数来解按比例分配应用题时， 要注意份数和量之间的对应关系。 这道题目， 是求的总台数， 就要用每份数乘总台数所对应的份数。 而 3 份和 5 份分别是卖出的份数 和剩下的份数，它们的和才是总台数所对应的份数。在解题时要仔细思考。 例例 7 7、、 （难点突破）（难点突破）已知 A、B、C 三个数的比是 2:3:5，这三个数的平均数是90，这三 个数分别是多少？ 分析与解：分析与解：三个数的平均数是 90，那么这三个数的和是 90×3=270，A、B、C 三个数 的比是 2:3:5，那么 A 是 2 份，B 是 3 份，C 是 5 份，总共是 2+3+5 = 10（份） ，那么 就可以求出每份是多少，再逐步求出A、B、C 分别是多少？ 90×3=270270÷10 = 2