线性方程组的解法讨论

本科生毕业论文本科生毕业论文 论文题目论文题目: : 线性方程组的解法讨论 作者、学号： 学院、年级：数学与信息科学学院 2010 级 学科、专业：数学与应用数学 指导教师： 完成日期：2014 年 5 月 20 日 曲靖师范学院教务处曲靖师范学院教务处 线性方程组的解法讨论 摘要 科学技术、 工程和经济领域中的一些实际问题建立数学模型时通常可以与线性方程 组对应起来，因此，AX=b 的求解是科学计算的中心问题.本文介绍了线性方程组的概念 及解的基本理论，针对齐次线性方程组和非齐次线性方程组，结合例题讨论了它们的解 法，主要有高斯消元法、克拉姆法、LU 分解法、逆矩阵及广义逆矩阵A法，并对每种 方法的优缺点及适用性进行了分析，得出线性方程组的解法虽多，但要根据线性方程组 的结构选择合适的方法，方能顺利求解的结论.  关键词 ：线性方程组；高斯消元法；克拉姆法则；LU 分解法；逆矩阵A法  Discussion about the Solution of Linear System of EquationsDiscussion about the Solution of Linear System of Equations Abstract:Abstract: Some practical problems of science and technology, engineering and economic areas of the mathematical model can usually correspond to linear equations, and therefore, the solution of AX=b is a central problem in scientific computing. This paper introduces the concept and the basic theory of linear equations solution, according to the system of homogeneous linear equations and nonhomogeneous linear equations combined with the example, discusses their solution, mainly Gauss elimination , LU decomposition , Crum , inverse matrix and generalized inverse matrix , and the advantages and disadvantages of each and applicability are analyzed, that although the solution of linear equations, but to choose the appropriate according to the linear equation the of a group, can be solved smoothly conclusions. Key words:Key words: linear System of equations； Gauss elimination ；Cramer rule；LU decomposition ；inverse matrix； 目录 1引言1 2文献综述1 2.1 国内外研究现状1 2.2 国内外研究现状评价2 2.3 提出问题2 3线性方程组的概念及解的基础理论2 3.1 齐次线性方程组2 3.2 非齐次线性方程组6 4线性方程组的解法9 4.1 高斯消元法9 4.2 用克拉默（Cramer）法则解线性方程组.10 4.3 LU 分解法 11 4.4 逆矩阵法及广义逆矩阵A法 12 5结论.15 5.1 主要发现.15 5.2 启示.15 5.3 局限性.15 5.4 努力方向.15 参考文献.16 1 引言 求解线性方程组 AX=b 是科学计算的中心问题[1].对于系数矩阵为低阶稠密矩阵的线 性方程组可以用直接法进行消元.对于大规模线性方程组的求解问题，特别是大规模稀 疏线性方程组，直接法会显得比较繁琐.因此，探讨线性方程组的解法就成了当前数学 计算中的一个重点和难点.目前， 求解线性方程组的主要方法有高斯消元法[2]， 克拉姆法 [4]，广义逆矩阵A法[3]，LU 分解法[9]，如何选择是大家关心的一个问题. 在科技、工程、医学、经济等各个领域中，很多问题常常归结为线性方程 .有些问 题的数学模型虽不直接表现为求解线性方程，但其数值解法中却需将该问题“离散化” 或“线性化”为线性方程组[10].随着计算机存储量的日益增大和计算机速度的迅速提高， 使得求解线性代数方程组的直接求法如高斯消去法等在计算机上可以用来求解大规模 线性代数方程组，并且由于处理稀疏矩阵存贮和计算技术的飞速发展，加之直接方法理 论的日臻完善，进一步断定了直接方法的巨大使用价值和可靠性，因而在近三十年来直 接法被广泛地采用，在科学研究和大型工程设计中出现了越来越多的数学问题，而这些 问题往往需要求数值解，在进行数值求解时，经离散后，常常归结为求解行如 Ax=b 的 大型线性方程组. 许多源于工程技术的数学问题，都可以归结为求解线性方程组 .因此在各种数据处 理中，线性方程组的求解是最常见的问题之一.因此，找到一种行之有效的方法来解线 性方程组可以给计算带来很大的便利，提高人们的工作效率. 2 文献综述 2.1 国内外研究现状 目前，国内外对线性方程组解法的研究已从各个方面进行了一定的探讨，得出了一 系列的成果，文献[1-2]中作者简单地叙述了线性方程组的思想方法，文献[3]中漫谈了 线性方程组的改革，文献[4-5]中系统地介绍了线性方程组的基本理论，文献[6]中系统 地讲述了线性方程组的各种解法，文献[7-10]中介绍了一些线性方程组的典例与解法， 1 文献[11]中韩艳丽介绍了线性方程组在处理矩阵秩问题中的应用，文献 [11-12]周均介 绍了齐次与非齐次线性方程组重要理论的应用举例， 文献[13-14] 花威谈了线性方程组 在高等代数中的应用. 2.2 国内外研究现状评价 国内外对线性方程组的研究多偏重于计算方法和应用方面的研究， 分别从商品利润 问题、交通问题、在解析几何中的应用问题、解决高等代数等方面进行研究，对线性方 程组的系统讨论及怎样选择恰当的方法求解，给出的研究不多. 2.3 提出问题 针对国内外研究现状，本文把以上文章中的所有问题进行了综合，对线性方程组的 解法作了归纳总结，弥补其中的一些不完善的地方，并例举一些具有针对性、典范性的 例题. 3 线性方程组的概念及解的基础理论 a 11x1  a 12 x 2  a 1n x n  b 1 a x  a x   a x  b 1212222nn 2 形如  (1.1)   a m1x1