数学一模试题分类汇编——反比例函数综合及详细答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标系内，双曲线： y=（x＞0）分别与直线 OA：y=x 和直线 AB：y=﹣ x+10，交于 C，D 两点，并且 OC=3BD． （1）求出双曲线的解析式； （2）连结 CD，求四边形 OCDB 的面积． 【答案】（1）解：过点 A、C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别是 M、E、F， ∴ ∠ AMO=∠ CEO=∠ DFB=90°， ∴ ∠ AOB=∠ ABO=45°， ∴ △ CEO∽ △ DEB ∴==3， ∵ 直线 OA：y=x 和直线 AB：y=﹣x+10， 设 D（10﹣m，m），其中 m＞0， ∴ C（3m，3m）， ∵ 点 C、D 在双曲线上， ∴ 9m2=m（10﹣m）， 解得：m=1 或 m=0（舍去） ∴ C（3，3）， ∴ k=9， ∴ 双曲线 y= BF=1， （x＞0） （2）解：由（1）可知 D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴ OE=3，EF=6，DF=1， ∴ S 四边形OCDB=S△ OCE+S梯形CDFE+S△ DFB ×1×1=17，=×3×3+×（1+3）×6+ ∴ 四边形 OCDB 的面积是 17 【解析】【分析】（1）过点 A、C、D 作 x 轴的垂线，垂足分别是 M、E、F，由直线 y=x 和 y=﹣x+10 可知∠ AOB=∠ ABO=45°，证明△ CEO∽ △ DEB，从而可知 = =3，然后设设 D（10﹣m，m），其中 m＞0，从而可知 C 的坐标为（3m，3m），利用 C、D 在反比例函 数图象上列出方程即可求出 m 的值．（2）求分别求出△ OCE、△ DFB△ 、梯形 CDFE 的面 积即可求出答案． 2．如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y=（k 为常数，且 k≠0）的图象交于 A （﹣1，a），B（b，1）两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在 x 轴上找一点 P，使 PA+PB的值最小，求满足条件的点P 的坐标； （3）求△ PAB的面积． 【答案】（1）解：当 x=﹣1 时，a=x+4=3， ∴ 点 A 的坐标为（﹣1，3）． 将点 A（﹣1，3）代入 y=中， 3=，解得：k=﹣3， ∴ 反比例函数的表达式为y=﹣ （2）解：当 y=b+4=1 时，b=﹣3， ∴ 点 B 的坐标为（﹣3，1）． 作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB的值最小，如图所示． ∵ 点 B 的坐标为（﹣3，1）， ∴ 点 D 的坐标为（﹣3，﹣1）． 设直线 AD 的函数表达式为 y=mx+n， 将点 A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入 y=mx+n 中， ，解得：， ∴ 直线 AD 的函数表达式为 y=2x+5． 当 y=2x+5=0 时，x=﹣， ∴ 点 P 的坐标为（﹣，0） （3）解：S△ PAB=S△ ABD﹣S△ BDP= ×2×2﹣ ×2× = 【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A 的坐标，根据点 A 的 坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标 特征可求出点 B 的坐标，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连接 AD，交 x 轴于点 P，此时 PA+PB 的值最小，由点 B 的坐标可得出点 D 的坐标，根据点 A、D 的坐标利用待定系数 法，即可求出直线 AB 的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点 P 的 坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△ PAB=S△ ABD﹣S△ BDP， 即可得出结论． 3．已知反比例函数 y=的图象经过点 A（﹣ （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）点 O 是坐标原点，将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB．判断点 B 是否在 此反比例函数的图象上，并说明理由； （3）已知点 P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中 m＜0），过 P 点作 x 轴 ，1）． 的垂线，交 x 轴于点 M．若线段 PM 上存在一点 Q，使得△ OQM 的面积是，设 Q 点的纵 坐标为 n，求 n2﹣2 n+9 的值． ，解得 k=﹣，【答案】（1）解：由题意得 1= ∴ 反比例函数的解析式为y=﹣ 在 Rt△ AOC 中，OC= ∴ OA= （2）解：过点 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 C． ，AC=1， =2，∠ AOC=30°， ∵ 将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转 30°得到线段 OB， ∴ ∠ AOB=30°，OB=OA=2， ∴ ∠ BOC=60°． 过点 B 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 D． 在 Rt△ BOD 中，BD=OB•sin∠ BOD= ∴ B 点坐标为（﹣1， 将 x=﹣1 代入 y=﹣ ∴ 点 B（﹣1， ）， 中，得 y=， 的图象上 ，OD= OB=1， ）在反比例函数 y=﹣ （3）解：由 y=﹣ ∵ 点 P（m， ∴ m（ ∴ m2+2 得 xy=﹣， 的图象上，其中 m＜0， m+6）在反比例函数 y=﹣ ， m+6）=﹣ m+1=0， ∵ PQ⊥x 轴，∴ Q 点的坐标为（m，n）． ∵ △ OQM 的面积是， ∴OM•QM=， ∵ m＜0，∴ mn=﹣1， ∴ m2n2+2 ∴ n2﹣2 ∴ n2﹣2 mn2+n2=0， n=﹣1， n+9=8． ，1），运用待定系【解析】【分析】（1）由于反比例函数 y=的图象经过点 A（﹣ 数法即可求出此反比例函数的解析式；（ 2）首先由点 A 的坐标，可求出 OA 的长度， ∠ AOC 的大小，然后根据旋转的性质得出∠ AOB=30°，OB=OA，再求出点 B 的坐标，进而 判断点 B 是否在此反比例函数的图象上；（3）把点 P（m， m+6）代入反比例函数的 解析式，得到关于 m 的一元二次方程；根据题意，可得 Q 点的坐标为（m，n），再由 △OQM 的面积是，根据三角形的面积公式及 m＜0，得出 mn 的值，最后将所求的代数 式变形，把 mn 的值代入，即可求出n2﹣2 n+9 的值． 4．如图，点 P（x，y1）与 Q（x，y2）分别是两个函数图象 C1与 C2上的任一点．当 a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1 成立，则称这两个函数在 a≤x≤b 上是“相邻函数”，否则称它们在 a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点 P（x，y1）与 Q （x，y2）分别是两个函数 y=3x+1 与 y=2x﹣1 图象上的任一点，当﹣ 3≤x≤﹣1 时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数 y=x+2 并研究它在﹣3≤x≤﹣1 上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1 成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1 上是“相邻函数”． （1）判断函数 y=3x+2 与 y=2x+1 在﹣2≤x≤0 上是否为“相邻函数”，并说明理由； （2）若函数 y=x2﹣x 与 y=x﹣a 在 0≤x≤2 上是“相邻函数”，求 a 的取值范围； （3）若函数 y=与 y=﹣2x+4 在 1≤