平行四边形专项训练1

第第 1818 章章 平行四边形平行四边形 专项训练专项训练 专训专训 1.1.判定平行四边形的五种常用方法判定平行四边形的五种常用方法 名师点金： 判定平行四边形的方法通常有五种， 即定义和四种判定定理， 选择判定方法时，一定要 结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程． 利用两组对边分别平行判定平行四边形 1 1．如图，在 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF， AF 与 BE 相交于 M 点，DF 与 CE 相交于 N 点．求证：四边形 FMEN 为平行四边形． (第 1 题) 利用两组对边分别相等判定平行四边形 2 2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF 都是等边三角形． 求证：四边形 ADEF 是平行四边形． (第 2 题) 利用一组对边平行且相等判定平行四边形 3 3．已知：如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，E，F 为对角线 AC 上两点，且AE＝CF，DF ∥BE. 求证：四边形 ABCD 为平行四边形． (第 3 题) 利用两组对角分别相等判定平行四边形 4 4．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E，DF 平分∠ADC，交 BC 于点 F，那 么四边形 BFDE 是平行四边形吗？请说明理由． (第 4 题) 利用对角线互相平分判定平行四边形 5 5．如图①，▱ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的中点，EF 过点 O，与 AD，BC 分别相交于点 E， F，GH 过点 O，与 AB，CD 分别相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH. (1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形； (2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与 四边形 AGHD 面积相等的所有平行四边形(四边形 AGHD 除外)． (第 5 题) 专训专训 2.2.构造中位线的方法构造中位线的方法 名师点金： 三角形的中位线具有两方面的性质： 一是位置上的平行关系， 二是数量上的倍分关系． 因 此， 当题目中给出三角形两边的中点时， 可以直接连出中位线； 当题目中给出一边的中点时， 往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线． 连接两点构造三角形的中位线 1 1．如图，点 B 为 AC 上一点，分别以 AB，BC 为边在 AC 同侧作等边三角形 ABD 和等边三 角形 BCE，点 P，M，N 分别为 AC，AD，CE 的中点． (1)求证：PM＝PN；(2)求∠MPN 的度数． (第 1 题) 利用角平分线＋垂直构造中位线 2 2．如图，在△ABC 中，点 M 为 BC 的中点，AD 为△ABC 的外角平分线，且 AD⊥BD，若 AB＝12，AC＝18，求 DM 的长． (第 2 题) 的中点，求 DE 的长． 3 3．如图，在△ABC 中，已知AB＝6，AC＝10，AD 平分∠BAC，BD⊥AD 于点 D，点E 为 BC (第 3 题) 倍长法构造三角形的中位线 4 4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF 为等腰直角三角形， ∠BEF＝90°， 1 M 为 AF 的中点，求证：ME＝ CF 2 (第 4 题) 已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线 5 5．如图，在四边形 ABCD 中，M、N 分别是 AD、BC 的中点，若 AB＝10，CD＝8，求 MN 长度的取值范围． (第 5 题) 6 6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F 分别为 CA，CB 上一点，CE＝CF，M， N 分别为 AF，BE 的中点，求证：AE＝ 2MN. (第 6 题) 已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线 7 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，点P 是 AD 的中点，延长BP 交 AC 于点 1 N，求证：AN＝ AC. 3 (第 7 题) 答案答案 专训 1 1 1 1．证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，DE＝BF，∴DE 綊 BF. ∴四边形 BFDE 为平行四边形． ∴BE∥DF. 同理，AF∥CE.∴四边形 FMEN 为平行四边形． 2 2．证明：∵△ABD，△BCE，△ACF 都是等边三角形， ∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°. ∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA， ∴∠ABC＝∠DBE. ∴△ABC≌△DBE. ∴AF＝AC＝DE. 同理，可证△ABC≌△FEC， ∴AD＝AB＝EF. ∴四边形 ADEF 是平行四边形． 3 3．证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE. ∴∠AEB＝∠CFD. 在△AEB 和△CFD 中， ∠BAE＝∠DCF，  AE＝CF，  ∠AEB＝∠CFD， ∴△AEB≌△CFD， ∴AB＝CD. 又∵AB∥CD，∴四边形 ABCD 是平行四边形． 4 4．解：四边形 BFDE 是平行四边形．理由：在 ABCD 中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C. ∵BE 平分∠ABC，DF 平分∠ADC， 11 ∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF. 22 ∵∠DFB＝∠C＋∠CDF， ∠BED＝∠ABE＋∠A， ∴∠DFB＝∠BED.∴四边形 BFDE 是平行四边形． 5 5．(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO. 在△OAE 与△OCF 中， ∠EAO＝∠FCO，  OA＝OC，  ∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF. 同理 OG＝OH， ∴四边形 EGFH 是平行四边形． (2)解：与四边形 AGHD 面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH. 专训 2 2 11 1 1．(1)证明： 如图， 连接 CD，AE.由三角形中位线定理可得 PM 綊 CD，PN 綊 AE.∵△ABD 22 和△BCE 是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC. ∴△ABE≌△DBC， ∴AE＝DC.∴PM＝PN. (2)解：如图，设 PM 交 AE 于 F，PN 交 CD 于 G，AE 交 CD 于 H.由(1)知△ABE≌△DBC， ∴∠BAE＝∠BDC. ∴∠AHD＝∠ABD＝60°， ∴∠FHG＝120°. 易证四边形 PFHG 为平行四边形， ∴∠MPN＝120°. (第 1 题) 2 2．解：如图，延长 BD，CA 交于 N. (第 2 题) 在△AND 和△ABD 中， ∠NAD＝∠BAD，  AD＝AD，  ∠ADN＝∠ADB＝90°， ∴△AND≌△ABD(ASA)． ∴DN＝DB，AN＝AB. 111 ∴DM＝ NC＝ (AN＋AC)＝ (AB＋AC)＝15. 222 3 3．解：如图，延长 BD 交 AC 于点 F， (第 3 题) ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. ∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF， 又∵AD＝AD，∴△ADB