切线的证明与运用技巧

圆中常考问题——————切线的证明与运用 题型一题型一：利用切线长定理模型全等证明切线 1．如图，AB，AC 分别是半⊙O 的直径和弦，OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半⊙O 的切线 AP，AP 与 OD 的延长线交于点 P．连接 PC 并延长与 AB 的延长线交于点 F． （1）求证：PC 是半⊙O 的切线； （2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段 BF 的长． 2．如图，PB 与⊙O 相切于点 B，过点 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为 C，交⊙O 于 点 A，连结 PA，AO，AO 的延长线交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D． （1）求证：PA是⊙O 的切线； （2）若 tan∠BAD=，且 OC=4，求 BD 的长． 3．如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是直径，⊙O 的切线 PA交 CB 的延长线于点 P， OE∥AC 交 AB 于点 F，交 PA于点 E，连接 BE． （1）判断 BE 与⊙O 的位置关系并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 4，BE=3，求 AB 的长． 第1 1页（共1111页） 4．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，E、F 是⊙ O 上两点，连接 AE、CF、DF，满足 EA=CA． （1）求证：AE 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 3，tan∠CFD=，求 AD 的长． 5．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D，DE⊥ PO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB，∠EDB=∠EPB． （1）求证：PB 是圆 O 的切线． （2）若 PB=6，DB=8，求⊙O 的半径． 6．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点 E 在 BC 上，以 CE 为直径的⊙O 交 AB 于点 F，AO∥EF （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）如图 2，连结 CF 交 AO 于点 G，交 AE 于点 P，若 BE=2，BF=4，求的值． 第2 2页（共1111页） 题型二题型二：利用平行线导角证明切线 1．如图，点E 在以 AB 为直径的⊙O 上，点C 是的中点，过点C 作 CD 垂直于 AE，交 AE 的延长线于点 D，连接 BE 交 AC 于点 F． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若 cos∠CAD=，BF=15，求 AC 的长． 2．如图，AB、CD 是⊙O 的直径，BE 是⊙O 的弦， ，过点 C 的直线与 EB 的延长 线交于点 P，连接 BC，且 BC 平分∠ABP，∠P=90°． （1）求证：CP 是⊙O 的切线； （2）求证：PC2=PB•PE； （3）若 BE﹣BP=PC=4，求⊙O 的半径． 3． 如图， AB 为⊙O 的直径， E 为⊙O 上一点， ∠EAB 的平分线 AC 交⊙O 于 C 点， 过 C 点作 CD⊥AE 交 AE 的延长线于 D 点，直线 CD 与射线 AB 交于 P 点． （1）求证：DC 为⊙O 切线； （2）若 DC=1，AC=，求⊙O 的半径长． 第3 3页（共1111页） 4．如图， ⊙O 是以 AB 为直径的圆，C 为⊙O 上一点，AE 和过点 C 的直线互相垂 直，垂足为E，AE 交⊙O 于点 D，直线EC 交 AB 的延长线于点 F，连结CA，CB， AC 平分∠DAB． （1）求证：直线 EC 为⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 5，且 tan∠DAC=，求 BC 的长． 5．如图所示，以△ABC 的边 AB 为直径作⊙O，点 C 在⊙O 上，BD 是⊙O 的弦， ∠A=∠CBD，过点 C 作 CF⊥AB 于点 F，交 BD 于点 G，过 C 作 CE∥BD 交 AB 的延 长线于点 E． （1）求证：CE 是⊙O 的切线； （2）求证：CG=BG； （3）若∠DBA=30°，CG=4，求 BE 的长． 题型三题型三：利用互余互补导角证明切线 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE． （1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE 的长． 第4 4页（共1111页） 2．已知：如图1，△ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上，⊙O 过点 B 且分别与边 AB，BC 相交于点 D，E，EF⊥AC，垂足为 F． （1）求证：直线 EF 是⊙O 的切线； （2）如图 2，当直线 AC 与⊙O 相切时，求⊙O 的半径． 3．如图所示，△ABC 中，点 D 是 AB 上一点，且 AD=CD，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，交 AC 于点 F，且点 F 是半圆 CD 的中点． （1）求证：AB 与⊙O 相切． （2）若 tanB=2，AB=6，求 CE 的长度． 4．如图，在△ABC 中，BA=BC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC、BC 于点 D、E， 延长 BC 到点 F，连接 AF，使∠ABC=2∠CAF． （1）求证：AF 是⊙O 的切线； （2）若 AC=4，CE：EB=1：3，求 CE 的长． 第5 5页（共1111页） 5．如图，△ABC 内接于⊙O，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上 的一点，且 AP=AC． （1）求证：PA是⊙O 的切线； （2）若 PD=，求⊙O 的直径． 6． 如图， 在△ABC 中， AB=AC． 以 AC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D， 交 BC 于点 E． 过 E 点作⊙O 的直线，交 AB 于点 F，EF⊥AB． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若 BD=2，BE=3，求 AC 的长． 7．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，连接 DE． （1）求证：直线 DE 是⊙O 的切线； （2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 AD 和 DE 的长． 第6 6页（共1111页） 8．如图，△ABC 内接于⊙O，BC 是⊙O 的直径，弦 AF 交 BC 于点 E，延长 BC 到 点 D，连接 OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 5，CE=2，求 EF 的长． 9．如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 BC，AC 于点 D，E， DG⊥AC 于点 G，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：直线 FG 是⊙O 的切线； （2）若 AC=10，cosA=，求 CG 的长． 10．如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦 BD 的中点，点 C 是⊙O 外一点 且∠DBC=∠A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与 BC 相交于点 C． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长． 第7 7页