切线长定理大题10道-教师用卷

切线长定理大题切线长定理大题 1010 道道 一、计算题（本大题共2 2 小题，共 12.012.0分） 1.如图，已知CD 是⊙ 𝑂的直径，𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、 CD 相交于点 A，且∠𝐴 + 2∠𝐴𝐸𝐷 = 90∘． (Ⅰ)证明：直线 AB是⊙ 𝑂的切线； (Ⅱ)当𝐵𝐶 = 1，𝐴𝐸 = 2，求tan∠𝑂𝐵𝐶的值． 【答案】(Ⅰ)证明：连接𝑂𝐸，𝐶𝐸，𝑂𝐵， ∵ 𝐷𝐶为圆 O的直径， ∴ ∠𝐷𝐸𝐶 = 90∘， 即∠𝐶𝐸𝐵 + ∠𝐴𝐸𝐷 = 90∘， ∴ 2∠𝐴𝐸𝐷 + ∠2∠𝐶𝐸𝐵 = 180∘， ∵ 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐶， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘， ∴ ∠𝐴 + ∠𝐴𝐵𝐶 = 90∘， ∵ ∠𝐴 + 2∠𝐴𝐸𝐷 = 90∘， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶 = 2∠𝐴𝐸𝐷， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶 + 2∠𝐶𝐸𝐵 = 180∘， ∵ ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐶𝐸𝐵 + ∠𝐸𝐶𝐵 = 180∘， ∴ ∠𝐶𝐸𝐵 = ∠𝐸𝐶𝐵， ∴ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐸， 在△ 𝑂𝐸𝐵和△ 𝑂𝐶𝐵中 𝐵𝐸 = 𝐵𝐶 {𝑂𝐸 = 𝑂𝐶， 𝑂𝐵 = 𝑂𝐵 ∴△ 𝑂𝐸𝐵≌△ 𝑂𝐶𝐵， ∴ ∠𝑂𝐸𝐵 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘， 即𝑂𝐸 ⊥ 𝐴𝐵， ∴ 𝐴𝐵是⊙ 𝑂切线． (Ⅱ)解：∵ 𝐵𝐸 = 𝐵𝐶 = 1，𝐴𝐵 = 2 + 1 = 3， 在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐶𝐵中，由勾股定理得：𝐴𝐶 = √32− 12= 2√2， ∵ ∠𝐴 = ∠𝐴，∠𝐴𝐸𝑂 = ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘， ∴△ 𝐴𝐸𝑂∽△ 𝐴𝐶𝐵， ∴ 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶， ∴ 𝐵𝐶 = 2 𝑂𝐸2 √ 𝑂𝐸𝐴𝐸 = 2 √2 ， 2 𝑂𝐶𝑂𝐸 √2 ． 2 ∴ tan∠𝑂𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝐵𝐶 = 第 1 页，共 6 页 2.如图，AC是⊙ 𝑂的直径，𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙ 𝑂的切线，𝐴，𝐵为切点，∠𝐵𝐴𝐶 = 25∘.求 ∠𝑃的度数． 【答案】解：∵ 𝑃𝐴，𝑃𝐵是⊙ 𝑂的切线， ∴ 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵， ∴ ∠𝑃𝐴𝐵 = ∠𝑃𝐵𝐴， ∵ 𝑃𝐴为切线， ∴ 𝐶𝐴 ⊥ 𝑃𝐴． ∴ ∠𝐶𝐴𝑃 = 90∘， ∵ ∠𝐵𝐴𝐶 = 25∘， ∴ ∠𝑃𝐴𝐵 = 90∘− ∠𝐵𝐴𝐶 = 65∘， ∴ ∠𝑃 = 180∘− 2∠𝑃𝐴𝐵 = 50∘． 3.在𝑅𝑡 △ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐷是边 AB上一点，以BD为直径的⊙ 𝑂经过 点 E，且交 BC于点 F． (1)求证：AC是⊙ 𝑂的切线； (2)若𝐵𝐹 = 6，⊙ 𝑂的半径为 5，求 CE的长． 【答案】(1)证明：连接 OE． ∵ 𝑂𝐸 = 𝑂𝐵， ∴ ∠𝑂𝐵𝐸 = ∠𝑂𝐸𝐵， ∵ 𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∠𝐸𝐵𝐶， ∠𝑂𝐸𝐵， ∴ ∠𝑂𝐸𝐴 = ∠𝐶， ∴ 𝐴𝐶是⊙ 𝑂的切线； ∴ ∠𝑂𝐵𝐸 = ∴ ∠𝐸𝐵𝐶 = ∴ 𝑂𝐸//𝐵𝐶， ∵ ∠𝐴𝐶𝐵 = 90∘， (2)解：连接 OE、OF，过点 O作𝑂𝐻 ⊥ 𝐵𝐹交 BF于 H， 由题意可知四边形 OECH为矩形， ∴ 𝑂𝐻 = 𝐶𝐸， ∵ 𝐵𝐹 = 6， ∴ 𝐵𝐻 = 3， 在𝑅𝑡 △ 𝐵𝐻𝑂中，𝑂𝐵 = 5， ∴ 𝑂𝐻 = √52− 32= 4， ∴ 𝐶𝐸 = 4． 4.如图，在△ 𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴 = 60∘，⊙ 𝑂是△ 𝐴𝐵𝐶的外接圆，过点 B 作⊙ 𝑂的切线， 交 CO的延长线于点𝐷，𝐶𝐷交⊙ 𝑂于点 E． 第 2 页，共 6 页 (1)求证：𝐵𝐶 = 𝐵𝐷； (2)若𝐵𝐶 = 3，求 CD的长． 【答案】解：连接 BO、BE， ∵ ∠𝐴 = 60∘， ∴ ∠𝐵𝑂𝐶 = 30∘， ∵ 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐵𝐶 = 30∘ ∵ 𝐶𝐸是直径， ∴ ∠𝐶𝐵𝐸 = 90∘， ∴ ∠𝐶𝐸𝐵 = 60∘， ∴ ∠𝑂𝐵𝐸 = 60∘， ∵ 𝐵𝐷为⊙ 𝑂切线， ∴ ∠𝑂𝐵𝐷 = 90∘， ∴ ∠𝐷𝐵𝐸 = ∠𝐸𝐷𝐵 = 30∘， ∴ ∠𝐵𝐷𝐶 = ∠𝐵𝐶𝐷 = 30∘， ∴ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷； (2) ∵ 𝐵𝐶 = 𝐵𝐷，𝐵𝐶 = 3， ∴ 𝐵𝐷 = 3， ∵ ∠𝐵𝐶𝐷 = 30∘， ∴ tan30∘= 𝐵𝐶， ∴ 𝐵𝐸 = √3， ∴ 𝐶𝐸 = 2√3，𝑂𝐵 = √3， ∴ 𝑂𝐷 = 2√3， ∴ 𝐶𝐷 = 𝑂𝐷 + 𝑂𝐶 = 3√3． 5.如图，在⊙ 𝑂中，点D是⊙ 𝑂上的一点，点C 是直 径 AB延长线上一点， 连接𝐵𝐷，𝐶𝐷， 且∠𝐴 = ∠𝐵𝐷𝐶． (1)求证：直线 CD是⊙ 𝑂的切线； (2)若 CM平分∠𝐴𝐶𝐷， 且分别交𝐴𝐷，𝐵𝐷于点𝑀， 𝑁， 当𝐷𝑀 = 2时，求 MN的长． 【答案】(1)证明：如图，连接 OD． ∵ 𝐴𝐵为⊙ 𝑂的直径， ∴ ∠𝐴𝐷𝐵 = 90∘，即∠𝐴 + ∠𝐴𝐵𝐷 = 90∘， 又∵ 𝑂𝐷 = 𝑂𝐵，∴ ∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝑂𝐷𝐵， ∵ ∠𝐴 = ∠𝐵𝐷𝐶；∴ ∠𝐶𝐷𝐵 + ∠𝑂𝐷𝐵 = 90∘，即∠𝑂𝐷𝐶 = 90∘． ∵ 𝑂𝐷是圆 O的半径，∴直线 CD是⊙ 𝑂的切线； (2)解：∵ 𝐶𝑀平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴ ∠𝐷𝐶𝑀 = ∠𝐴𝐶𝑀， 又∵ ∠𝐴 = ∠𝐵𝐷𝐶， ∴ ∠𝐴 + ∠𝐴𝐶𝑀 = ∠𝐵𝐷𝐶 + ∠𝐷𝐶𝑀，即∠𝐷𝑀𝑁 = ∠𝐷𝑁𝑀， ∵ ∠𝐴𝐷𝐵 = 90∘，𝐷𝑀 = 2， ∴ 𝐷𝑁 = 𝐷𝑀 = 2， ∴ 𝑀𝑁 = √𝐷𝑀2+ 𝐷𝑁2= 2√2． 6.如图，已知 AB是⊙ 𝑂的直径，CD 与⊙ 𝑂相切于𝐶，𝐵𝐸//𝐶𝑂． (1)求证：BC是∠𝐴𝐵𝐸的平分线； (2)若𝐷𝐶 = 8，⊙ 𝑂的半径𝑂𝐴 = 6， 求CE的长． 【答案】(1)证明：∵ 𝐷𝐸是切线， ∵ 𝐵𝐸//𝐶𝑂， 第 3 页，共 6 页 𝐵𝐸 ∴ 𝑂𝐶 ⊥ 𝐷𝐸， ∴ ∠𝑂𝐶𝐵 = ∠𝐶𝐵𝐸， ∵ 𝑂𝐶 = 𝑂𝐵， ∴ ∠𝑂𝐶𝐵 = ∠𝑂𝐵𝐶， ∴ 𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐸． (2)在𝑅𝑡 △ 𝐶𝐷𝑂中，∵ 𝐷𝐶 = 8，𝑂𝐶 = 0𝐴 = 6， 10， ∴ 𝐷𝐶 𝐶𝐸