刚体的定轴转动习题解答

习题 3-1 一汽车发动机曲轴的转速在12s内由每分钟1200转匀加速地增加到 每分钟 2700 转，求： （1）角加速度； （2）在此时间内，曲轴转了多少转？ 解： （1） 1  40(rad /s) 2  90(rad /s)   2  1 t  90 4025 (rad / s2)  13.1(rad / s2) 126 匀变速转动 2 2  1 2  390 (圈) （2） 780(rad) n  22 3-2 一飞轮的转动惯量为J,在t  0时角速度为 0 ，此后飞轮经历制动 过程。阻力矩M的大小与角速度的平方成正比，比例系数K  0。求： （1）当0 3时,飞轮的角加速度； （2）从开始制动到 0 3所需 要的时间。 2K 0 K2  (rad /s2) 解： （1）依题意M  J K   J9J 2 dK2   （2）由得 dtJ t 0 dt 0 3 0  Jd2J t  2KK 3-3 如图所示， 发电机的轮 A 由蒸汽机的轮 B 通过皮带带动。两轮半 径RA=30cm，RB75cm。当蒸汽机开动后，其角加速度 B  0.8πrad/s2， 设轮与皮带之间没有滑动。求（1）经过多少秒后发电机的转速达到 n A =600rev/min？（2）蒸汽机停止工作后一分钟内发电机转速降到 300rev/min，求其角加速度。 1 解： （1）A At  B  Bt 因为轮和皮带之间没有滑动，所以A、B 两轮边缘的线速度相同，即  ARA  B R B 又A 2600R  20(rad /s) 联立得t  AA10(s) 60 B R B （2）A 2300    A  10(rad /s) A A(rad /s2) 60t6 3-4一个半径为R 1.0m 的圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转 轴转动。一根轻绳绕在圆盘的边缘， 其自由端悬挂一物体。若该物体从静止 开始匀加速下降，在t＝2.0s 内下降的距离h＝0.4m。求物体开始下降后 第 3 秒末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。 解：物体下落的加速度a  2h 2 0.2(m/s ) 2t 又 a t  a  R ，得圆盘的角加速度  0.2(rad /s2) 第 3 秒末，圆盘的角速度t  0.6(rad /s ) 所以at 0.2(m/s2) an 2R  0.36(m/s2) 3-5 一个砂轮直径为 0.4m，质量为 20kg，以每分钟 900 转的转速转动。 撤去动力后， 一个工件以 100N 的正压力作用在砂轮边缘上， 使砂轮在 11.3s 内停止，求砂轮和工件的摩擦系数(忽略砂轮轴的摩擦)。 解：M  J 其中M  NR，得 dMNR   dtJJ 2 t 0 dt   0 0 J 0 Jd ， 即 NRtNR 2 29001d   30(rad /s)，J  m   0.4(kgm2) 又0 602 2 得 0.167 3-6 如图所示，质量为m的匀质圆环，半径为R，当它绕通过环心的直 径轴转动时，求圆环对轴的转动惯量J。 习题 3-3 图 习题 3-6 图 解：方法一：设过环心且垂直于圆环所在平面的轴线为z轴，过环心的 两条互相垂直的直径分别为x轴和y轴， 根据垂直轴定理J z  J x  J y 由对称性可知J x  J y ，又J z  mR2 得 方法二：dm dl Rd，其中 J  J x  J y  1 mR2 2 m 2R dJ  dmRsinR3sin2d 2 J R3sin2dR3 0 2 1 mR2 2 3 3-7如图所示， 长为2L的匀质细棒， 质量为M， 未端固定一质量为m 的质点，当它绕过棒中点的水平轴转动时，求转动惯量J。 习题 3-7 图 习题 3-8 图 解:J  J M  J m  1 ML2 mL2 3 3-8 如图所示，从质量为M，半径为R的匀质薄圆板上挖去一个半径 为r的圆孔，圆孔的中心位于半径的中点。 求此时圆板对于原板中心且与板 面垂直的轴线的转动惯量。 解：可以把带孔的圆板看成均匀的完整圆板减去一个跟圆孔大小一致的 圆板，即J  J圆板 J 孔板 11 2 R 2 r2 2J 圆板 MR ，J 孔板 mr  m() ，其中m  2 M 222R 11r41 22 得J  MR M 2 Mr 22R4 3-9 如图所示，把两根质量均为m，长为l的匀质细棒一端焊接相连， 其夹角 120， 取连接处为坐标原点， 两个细棒所在的平面为Oxy平面， 求此结构分别对Ox轴、Oy轴、Oz轴的转动惯量。 4 习题 3-9 图 习题 3-10 图 解： （1）J x  J 左x  J 右x , 其中J 右x  0 my2dyy 22 m l dl  ，dJ 左x  dmy  y ， cos30llcos30 J 左x lcos30 0 1my2dy1 2ml ，即J x  J 左x  J 右x ml2 4lcos304 （2）J y  J 左y  J 右y , 其中J 右y  1 2ml 3 xmx2dx 22 m l dl  , dJ 左y  dmx  x ， sin30llsin30 J 左 lsin30 0 5mx2dx1 ml2，所以J y  J 左y  J 右y ml2 12lsin3012 1 2 1 2 2 2ml ml ml 333 1 2 52 ml2ml2 或 J z  J x  J y ml  4123 (3) J z  3-10 如图所示， 在边长为a的正六边形的六个顶点上各固定一个质量为 （1）对Ox轴、Oy轴、Oz m的质点，设这正六边形放在Oxy平面内，求： 轴的转动惯量； （2）对过中心C且平行于Oy的 Oy 轴的转动惯量。 5 解： （1）J x  204m( 3a 2)  3ma2 2 a3a J y 102m( )22()21m(2a)2 9ma2 22 J z 102ma22( 3a)21m(2a)212ma2 （2）J y  2ma 4m( )  3ma 或根据平行轴定理J y  J y 6ma23ma2 3-11 匀质圆盘质量为m、半径为R，放在粗糙的水平桌面上，绕通过 盘心的竖直轴转动，初始角速度为 0 ，已知圆盘与桌面的摩擦系数为， 问经过多长时间后圆盘静止？ 解：可以把圆盘看成由许许多多的小圆环组成， 其中半径为r、宽度dr 的质量为 2 a 2 22 dm dS  2rdr ，其中 受到的摩擦力矩为 m ， R2 dM  dm