2009年考研数学三真题及解析(可复制版)

第 1 页 共 18 页 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）函数 3 ( ) sin xx f x x   的可去间断点的个数为： （ ）   A . 1   B . 2   C . 3   D .无穷多个 （2）当0 x 时，( )sinf xxax与 2( )ln(1)g xxbx 是等价无穷小，则（ ）   A . 1a  ， 1 6 b     B . 1a  ， 1 6 b    C . 1a   ， 1 6 b     D . 1a   ， 1 6 b  （3）使不等式 1 sin ln x t dtx t  成立的x的范围是（ ）   A . (0,1)   B .(1, ) 2    C .( , ) 2     D .( ,)  （4）设函数   yf x 在区间  1,3 上的图形为： 则函数    0 x F xf t dt 的图形为（ ）   A .   B . ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 1 ( )f x -2 0 2 3 x -1 O 第 2 页 共 18 页   C .   D . （5）设,A B均为 2 阶矩阵， *,A B 分别为,A B的伴随矩阵，若|| 2,|| 3AB则分块矩阵 0 0 A B    的伴随矩阵为（ ）   A . * * 03 20 B A      B . * * 02 30 B A      C . * * 03 20 A B      D . * * 02 30 A B    （6）设,A P均为 3 阶矩阵， TP 为P的转置矩阵，且 100 010 002 TP AP       ，若 1231223 (,,),(,,)PQ     ，则 TQ AQ 为（ ）   A . 210 110 002        B . 110 120 002        C . 200 010 002        D . 100 020 002      （7）设事件A与事件 B 互不相容，则（ ）   A .()0P AB    B . ()( ) ( )P ABP A P B   C . ( )1( )P AP B    D .()1P AB （8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布 (0,1)N ，Y的概率分布为 1 {0}{1} 2 P YP Y ，记 ( ) z F Z 为随机变量Z XY 的分布函数，则函数 ( ) z F Z 的间 ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 ( )f x 0 2 3 x 1 -1 1 第 3 页 共 18 页 断点个数为（ ）   A . 0   B . 1   C . 2   D . 3 二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） cos 320 lim 11 x x ee x    . （10）设() yxzxe ，则 (1,0) z x    （11）幂级数 2 1 ( 1) nn n n e x n      的收敛半径为 （12）设某产品的需求函数为( )QQ P,其对应价格P的弹性 0.2 p  ，则当需求量为 10000件时，价格增加 1 元会使产品收益增加 元 （13）设(1,1,1)T  ,(1,0, )Tk  ，若矩阵 T 相似于 300 000 000      ，则k  (14)设 1 X ， 2 X , … n X 是来自二项分布总体( , )B n p的简单随机样本，X和 2 S 分别为样本 均值和样本方差，记统计量 2TXS ，则ET  三、解答题： 15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分 9 分）求二元函数  22( , )2lnf x yxyyy 的极值。 （16） （本题满分 10 分） 计算不定积分 1 ln(1) x dx x   (0)x  （17） （本题满分 10 分） 计算二重积分 () D xy dxdy ，其中 22( , ) (1)(1)2,Dx yxyyx  . （18） （本题满分 11 分） ①证明拉格朗日中值定理，若函数 ( )f x 在  , ab 上连续，在  , ab 上可导，则  , ab ，得证  ( )( )( )f bf afba . ②证明：若函数 ( )f x 在 0 x  处连续，在  0,,(0) 内可导，且 0 lim( ) x fxA    ，则 (0)f  存在，且 (0)fA   . （19） （本题满分 10 分） 第 4 页 共 18 页 设曲线( )yf x，其中( )yf x是可导函数，且( )0f x .已知曲线( )yf x与直线 0,1yx 及(1)xt t所围成的曲边梯形，绕x轴旋转一周所得的立体体积值是绕曲边 梯形面积值的t  倍，求该曲线方程。 （20） （本题满分 11 分） 设 111 A=111 042        , 1 1 1 2         ①求满足 21 A ， 2 31 A 的所有向量 2  ， 3  . ②对①中的任意向量 2  , 3  证明 1  , 2  , 3  线性无关。 （21） （本题满分 11 分） 设二次型 222 1231231323 ( ,,)(1)22f x xxaxaxaxx xx x ①求二次型f的矩阵的所有特征值。 ②若二次型 123 (,,)f x xx 的规范型为 22 11 yy ，求a的值。 （22） （本题满分 11 分） 设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 0 ( , ) 0 xeyx f x y    其他 ①求条件概率密度() Y X fy x ②求条件概率 11PXY    （23） （本题满分 11 分） 袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、 Y、Z