光栅衍射的误差分析及其改进

光栅衍射实验的误差分析及其改进 仲原 100104258 机械工程及其自动化 摘要：平行光未能严格垂直人射光栅将形成误差，常用的对称测盘法只能消除 误差的一阶修正项，但仍存在二阶修正项误差。若采用测t 最小衍射角的方法就 能有效地消除一阶、二阶修正项的误差，而且能观测到更高级次的衍射条纹，从 而减少读数误差，提高实验精度。 关键字：光栅衍射 一阶修正项 二阶修正项 测 t 最小衍射角法 summray: the parallel light is not strictly vertical grating will be ed of people shootingerror,thecommonlyusedsymmetricdiskcaneliminate measurement error of a first-order correction term, there are still two order correction error. The T minimum diffraction angle can effectively eliminate the first order, two order correction of the error, butalso more advanced times the observed diffraction fringes, thus reducing reading error, improve the accuracy of experiment. Key words: grating diffraction order correction of two order correction of measuring t minimum diffraction angle 衍射光栅简称光栅， 是利用多缝衍射原理使光发生色散的一种光学元件。它 实际上是一组数目极多、平行等距、紧密排列的等宽狭缝，通常分为透射光栅和 平面反射光栅。 透射光栅是用金刚石刻刀在平面玻璃上刻许多平行线制成的，被 刻划的线是光栅中不透光的间隙。 而平面反射光栅则是在磨光的硬质合金上刻许 多平行线。 实验室中通常使用的光栅是由上述原刻光栅复制而成的，一般每毫米 约 250-600 条线。 1 1 实验原理实验原理 设平面单色光波垂直入射到光栅（图 1）表面上，衍射光通过透镜聚焦在焦 平面上，于是在观察屏上就出现衍射图样，如图 2 所示。 图10-1光栅片示意图 光栅方程 ： d sin k （ k  0,1,2,. ） 图10-2 单色光光栅衍射光谱示意图图10-3 复合光光栅衍射光谱示意图 当入射光为复合光时， 在相同的 d 和相同级别 k 时， 衍射角φ随波长增大而 增大，这样复合光就可以分解成各种单色光。 （如图 3 所示）根据光栅方程，若 已知光栅常数，条纹级别能数出来，我们可以根据衍射角测量某光的波长。 波长测量表达式为：  d sin k 或已知波长，可以根据衍射角测量光栅常数 d。 d  k sin 光栅常数 d 测量表达式为： 2 2 光栅放置误差的理论分析光栅放置误差的理论分析 当平行光与光栅平面法线成a 角斜入射时的光栅方程为 或 上两式中 Φk，Φ k的物理意义如下图所示。因此，如果光栅放置得不严格垂直于人射光， 而实验测量时仍用公式(1) 进行波长、分辨率等物理量的计算，将造成实验误差。不失一般 性，就方程(2)考虑人射角 θ 对测量结果的影。 图 1平行光斜入射光栅 将方程(2)展开并整理，得 （4） 与(1)式比较可知，由于人射角θ 不等于零而产生了两项误差，如果θ 很小，第一项 tan (Φk/2)sinθ≈tan(Φk/2) x θ 可视为一阶小量，第二项2sin2θ/2≈θ2/2 可视为二阶小量，为方便计， 称第一项为误差的一阶修正项， 第二项为误差的二阶修正项。 如果 θ 较大，则引起的误差不 能忽略。进一步分析表明，在相同人射角 θ 的条件下，当衍射级次 k 增加时，Φk增加，由 于 tanΦk是递增函数， 因此一阶修正项增大， 测量高级次的光谱会使实验误差增大;而误差的 二阶修正项与衍射级次 k 和衍射角 Φk无关。 从测量理论来看，衍射级次k 越高，衍射角Φk越大，估读 Φk引起 sinΦk的相对误差越 小，因为△sinΦk/sinΦk= ctgΦk△Φk，而 ctgΦk是递减函数。另外角色散率dΦk/dλ= tanΦk/λ 因正比于 tanΦk而增大;角分辨率因正比于衍射级次k 而增加。 因此测量高次的光谱非但不增 大二阶修正项的相对误差， 反而能减小其它物理量的测量误差， 而误差的一级修正项则与此 矛盾。 3 3 减少误差的途径减少误差的途径 如果能测出 θ 值代入(4)进行计算，理论上能对光栅放置不精确而引起的误差进行修正。 但作为教学型实验，人射角 θ 的测量有一定难度， 而且从测量理论上考虑， 应尽可能减少直 接测量量的数目。考虑到第一修正项系数为奇函数， 因此可以用对称测量的方法来消除， 这 也是通常实验所采用的。为此将(2)式和(3)式相加并两边同除 2，得 可见第一修正项已消除， 但第二修正项仍然存在。 如按对称测量方法，取左右两个衍射角的 平均值，计算波长等物理量应该用公式(5)，而不能简单地把(Φk+Φ k)当作 Φk代人(1)式计算。 比如波长几的计算，若不计第二修正项，则有 因此，平行光不垂直入射引起波长测量的相对误差为 其相对误差完全由人射角 θ 决定，与衍射级次 k 和衍射角 Φk无关，而且对不同光栅， 第二修正项误差都一样。其误差随人射角θ 改变的理论计算结果如图2 所示。 图 2光栅放置未能使平行光垂直入射引起的误差 我们在 JJY 型(测量精度为 δ=1 ，光栅常数 d = 1/300mm，待测光波长 λ= 589.3nm)分光 计上进行了测量，测量结果以散点形式在图2 上标出，测量误差与理论计算误差相一致。 当 人射角 θ=2°时，理论计算误差为 0.061%，实验测定误差为 0.11%;人射角 θ=4°时理论计算误 差为 0.24%，实验测定误差为 0.26%；人射角 θ=30°时，理论计算误差为 15%，实验测定误 差为 14%；理论计算和实验测量结果都表明，当不垂直而偏离的角度较小时 (θ 0，因此存在一个最小衍 射角 Φkmin，此时光栅方程简化为 正如找三棱镜最小偏向角一样，可以通过实验方便地测量出这一最小衍射角。即首先把 望远镜的十字叉丝对准某一衍射级次的谱线， 转动载物台带动光栅作微小转动， 在望远镜中 可见到光谱线跟随着光栅转动而移动， 由此可确定最小衍射角的截止位置， 记下此时的读数 Φ1，然后取走光栅，将望远镜对准平行光管，记下此时的读数 Φ2，则 Φkmin=|Φ2-Φ1|。与通 常的测量方法一样，只需两次读数就能测出波长等物理量， 而且消除了第一、第二修正项引 起的误差。因此，测量光栅最小衍射角，由方程(8)进行波长、分辨率等物理量的计算，不 仅消除了一阶、 二阶修正项引起的误差， 而且还有