2021版新高考数学：正弦定理、余弦定理含答案

教学资料范本教学资料范本 20212021版新高考数学：正弦定理、余弦定理含答案版新高考数学：正弦定理、余弦定理含答案 编编 辑：辑：____________________________________ 时时 间：间：____________________________________ 1 / 17 第六节第六节正弦定理、余弦定理正弦定理、余弦定理 [考点要求]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (对应学生用书第 82 页) 1．正弦、余弦定理 在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 的外接圆 半径，则 定理正弦定理余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； 2 / 17 abc 内容＝＝ sin Asin Bsin C＝2R. c2＝a2＋b2－2ab_cos_C (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B， c＝2R sin C； 变形 (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3) a＋b＋ca ＝sin A＝2R. sin A＋sin B＋sin C cos B＝ cos A＝b2＋c2－a2； 2bc c2＋a2－b2； 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ 2ab 2.三角形常用面积公式 1 (1)S＝2a·ha(ha表示边 a上的高)； 111 (2)S＝2ab sin C＝2ac_sin_B＝2bc_sin_A； 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径). 2 [常用结论] 1．在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sinB． 2．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝b cos C＋c cos B； b＝a cos C＋c cos A； c＝b cos A＋a cos B． 3．内角和公式的变形 (1)sin (A＋B)＝sin C； (2)cos (A＋B)＝－cos C. 3 / 17 ) 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．() (2)在△ABC 中，若 sin A＞sin B，则 A＞B.() (3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．() (4)当 b2＋c2－a2＞0时，△ABC 为锐角三角形；当 b2＋c2－a2＝0 时，△ABC 为直角三角形；当 b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．() [答案](1)×(2)√(3)×(4)× 二、教材改编 ππ 1．已知△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A＝6，B＝4， a＝1，则 b＝() A．2 C． 3 B．1 D． 2 π sin 4aba sin B2 D D[由sin A＝sin B得 b＝ sin A ＝ π＝2 ×2＝ 2.] sin 6 2．在△ABC 中，若 a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有() A．无解 C．一解 B．两解 D．解的个数不确定 B B[∵b sin A＝24sin 45°＝12 2， ∴12 2＜18＜24，即 b sin A＜a＜b. 4 / 17 ∴此三角形有两解．] 3．在△ABC 中，a cos A＝b cos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形[由正弦定理，得 sin A cos A＝sin B cos B， 即 sin 2A＝sin 2B， 所以 2A＝2B或 2A＝π －2B， π 即 A＝B或 A＋B＝2， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．] 4．在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，则△ABC 的面积等于 ________． 2 34 2 3[因为sin 60°＝sin B，所以 sin B＝1，所以 B＝90°， 所以 AB＝2， 1 所以 S△ ABC ＝2×2×2 3＝2 3.] (对应学生用书第 82 页) 考点 1利用正、余弦定理解三角形问题 5 / 17 应用正弦、余弦定理的解题技巧 b sin Aa sin Ba sin C (1)求边：利用公式 a＝ sin B ，b＝ sin A ，c＝ sin A 或其他相应变形公式求 解． (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A＝ b sin Ac sin A ，sin C＝ aa 或其他相应变形公式求解． (3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解． (4)灵活利用式子的特点转化：如出现 a2＋b2－c2＝λab 形式用余弦定理，等 式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理． a sin B b ，sin B＝ (1)(20 xx·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 1 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin A－b sin B＝4c sin C，cos A＝－4， 6 / 17 b 则c＝() A．6 C．4 B．5 D．3 (2)(20 xx·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin B－ sin C)2＝sin2A－sinB sin C. ①求 A； ②若 2a＋b＝2c，求 sin C. (1)A[∵a sin A－b sin B＝4c sin C， ∴由正弦定理得 a2－b2＝4c2，即 a2＝4c2＋b2. 由余弦定理得 cos A＝ ＝6. 故选 A.] (2)[解]①由已知得 sin2B＋sin2C－sin2A＝sinB sin C，故由正弦定理得 b2＋ c2－a2＝bc. b2＋c2－a21 由余弦定理得 cos A＝＝2. 2bc 因为 0°＜A＜180°， 所以 A＝60°. ②由①知 B＝120°－C，由题设及正弦定理得 2sin A＋sin (120°－C)＝2sin C， 631 即 2 ＋ 2 cos C＋2sin C＝2sin C， 可得 cos (C＋60°)＝－ 由于 0°＜C＜120°， 2 所以 sin (C＋60°)＝ 2 ， 故 sin C＝sin (C＋60°－60°) ＝sin (C＋60°)cos 60°－cos (C＋60°)sin 60° 2. 2 b2＋c2－a2b2＋c2－（4c2＋b2）－3c21b ＝＝＝－ ，∴ 2bc2bc2bc4c 7 / 17 6＋2 ＝ 4 . 解三角形问题，关键是利用正、 余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公 式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据． [教师备选例题] (20 xx·天津高考)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 b π sin A＝a cos (B－6). (1)求角 B的大小； (2)设 a＝2，c＝3，求 b和 sin (2A－B)的值． ab [解](1)在△ABC 中，由正弦定理sin A＝sin B， 可得 b sin A＝a sin B， π 又由 b sin A＝a cos (B－6)， π 得 a sin B＝a cos (B－6)， π 即 sin B＝cos (B－6)， 可得 tan B＝ 3. π 又因为 B∈(0