2021年上海长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 一一. .填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，题，1616 每题每题 4 4 分，分，712712 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分） 1． （4 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则 A∩B=． 2． （4 分）不等式 3． （4 分）已知 4． （4 分） 的解集为． ，则 =． =． 5． （4 分）已知球的表面积为 16π，则该球的体积为． 6． （4 分）已知函数f（x）=1+logax，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4） ，则 a 的值为． =．7． （5 分）若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则 8． （5 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （a+b+c） （a﹣b+c） =ac，则 B=． 9． （5 分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展 开式中常数项的值为． 10． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当 x∈[2，4] 时，，则的值为． 11． （5 分）已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，2Sn=an•an +1 （n∈N*） ．若 bn= （﹣1）n，则数列{bn}的前 n 项和 Tn=． 12． （5 分）若不等式 x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足 x＞y＞0 的实数 x、y 恒成 立，则实数 c 的最大值为． 二二. .选择题（本大题共选择题（本大题共 4 4 题，每题题，每题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13． （5 分）设角 α 的始边为 x 轴正半轴，则“α 的终边在第一、二象限”是“sinα ＞0”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 1 C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件 14． （5 分）若直线 l1和 l2是异面直线，l1在平面 α 内，l2在平面 β 内，l 是平 面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是（） A．l 与 l1，l2都不相交B．l 与 l1，l2都相交 C．l 至多与 l1，l2中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2中的一条相交 15． （5 分）对任意两个非零的平面向量 中 θ 为 的夹角 值为（） A．B．C．1D． 和 和，定义，其 ；② 和 中， 则的 的夹角，若两个非零的平面向量 和 满足：① ； ③和的值都在集合 16． （5 分）已知函数，且 f1（x）=f（x） ，fn（x）=f（fn﹣ 的根的个数为（）） ，n=1，2，3，…．则满足方程 fn（x）=x 1（x） A．2n 个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个 三三. .解答题（本大题共解答题（本大题共 5 5 题，共题，共 1414+ +1414+ +1414+ +1616+ +18=7618=76 分）分） 17． （14 分）如图，设长方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4． （1）求四棱锥 A1﹣ABCD 的体积； （2）求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示） 18． （14 分）已知复数 z 满足 （1）求复数 z； ，z2的虚部为 2． 2 （2）设 z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为 A、B、C，求△ABC 的面积． 19． （14 分）一根长为 L 的铁棒 AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽 AC=BD=2m． （1）设∠BOD=θ，试将 L 表示为 θ 的函数； （2）求 L 的最小值，并说明此最小值的实际意义． 20． （16 分）已知函数 f（x）=2x+2﹣x． （1）求证：函数 f（x）是偶函数； （2）设 a∈R，求关于 x 的函数 y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在 x∈[0，+∞）时的值域 g （a）表达式； （3）若关于 x 的不等式 mf（x）≤2﹣x+m﹣1 在 x∈（0，+∞）时恒成立，求实 数 m 的取值范围． 21． （18 分）已知数列{an}满足：a1=1， （1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且满足 的值，使得数列{bn}为等差数列； （3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{cn}，且c1=5，求证：存在 ，试确定 b1 ，n∈N*． 无数个满足条件的无穷等比数列{cn}． 3 20182018 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一. .填空题（本大题共填空题（本大题共 1212 题，题，1616 每题每题 4 4 分，分，712712 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分） 1． （4 分）已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则 A∩B={2，4}． 【解答】解：∵集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A∩B={2，4}． 故答案为：{2，4}． 2． （4 分）不等式的解集为（﹣1，0]． 【解答】解：∵， ∴或， 解得：﹣1＜x≤0， 故答案为（﹣1，0]． 3． （4 分）已知，则=． 【解答】解：∵sinα=， ∴cos（+α）=﹣sinα=﹣． 故答案为：﹣ 4． （4 分）=． 【解答】解：==， 4 ∴=， 故答案为：． 5． （4 分）已知球的表面积为 16π，则该球的体积为． 【解答】解：一个球的表面积是 16π，所以球的半径为：2， 所以这个球的体积为： 故答案为： 6． （4 分）已知函数f（x）=1+logax，y=f1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1 ﹣ =． ． （x）的图象过点（2，4） ，则 a 的值为4． 【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4） ， ∴函数 y=f（x）的图象过点（4，2） ， 又 f（x）=1+logax， ∴2=1+loga4，即 a=4． 故答案为：4． 7． （5 分）若数列{an}为等比数列，且 a5=3，则=18． 【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7， 又由数列{an}为等比数列，且 a5=3， 则有 a2•a8=a3•a7=9， 则=9+9=18； 故答案为：18． 8． （5 分）设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， （a+b+c） （a﹣b+c） 5 =ac，则 B=． 【解答】解：△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， ∵（a+b+c） （a﹣b+c）=ac，即 a2+c2﹣b2=﹣ac， 又 cosB= ∴B=， ． =﹣， 故答案为： 9． （5 分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于 256，则该展 开式中常数项的值为1120． 【解答】解：由题意可知，2n=256，解得 n=8． ∴= = 令 8﹣2r=0，得 r=4． ∴该展开式中常数项的值为 故答案为：1120． 10． （5 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数，当 x∈[2，4] 时，，则