2021北京中考数学新定义问题专题练习含答案

优质资料 专题突破(十)新定义问题 新定义题型的构造注重学生数学思考的过程及不同认知阶段特征的表现．其内部逻辑构 造呈现出比较严谨、整体性强的特点．其问题模型可以表示为阅读材料、研究对象、给出条 件、 需要完成认识． 而规律探究、 方法运用、 学习策略等则是“条件”隐形存在的“魂”． 这 种新定义问题虽然在构造方式上“五花八门”，但是经过整理也能发现它们存在着一定的规 律． 新定义题型是北京中考最后一题的热点题型．“该类题从题型上看，有展示全貌，留空 补缺的；有说明解题理由的； 有要求归纳规律再解决问题的； 有理解新概念再解决新问题的， 等等．这类试题不来源于课本且高于课本，结构独特． 年份 考点 北京第 25 题分析 202X 新定义问题——先学习后判断，函数综合 北京第 29 题分析 202X 给出新定义，学习，应用 1．[202X·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，⊙C 的半径为 r，P 是与圆心 C 不重合的点， 点 P 关于⊙O 的反称点的定义如下：若在射线 ．． CP 上存在一点 P′，满足 CP＋CP′＝2r，则称 P′为点 P 关于⊙C 的反称点，如图 Z10－1 为点 P 及其关于⊙C 的反称点 P′的示意图． (1)当⊙O 的半径为 1 时． 3 ①分别判断点 M(2，1)，N( ，0)，T(1， 3)关于⊙O 的反称点是否存在，若存在，求其 2 坐标； ②点 P 在直线 y＝－x＋2 上，若点P 关于⊙O 的反称点 P′存在，且点P′不在 x 轴上，求 点 P 的横坐标的取值范围． (2)当⊙C 的圆心在 x 轴上，且半径为 1，直线 y＝－ 3x＋2 3与 x 轴、y 轴分别交于点 3 A，B.若线段 AB 上存在点 P，使得点P 关于⊙C 的反称点 P′在⊙C 的内部，求圆心C 的横坐 标的取值范围． 图 Z10－1 1 / 17 优质资料 2．[202X·北京] 对某一个函数给出如下定义：若存在实数M0，对于任意的函数值y， 都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数． 在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个 函数的边界值．例如，图Z10－2 中的函数是有界函数，其边界值是1. 1 (1)分别判断函数 y＝ (x0)和 y＝x＋1(－4a)的边界值是 2，且这个函数的最大值也是2，求 b 的 取值范围； (3)将函数 y＝x2(－1≤x≤m， m≥0)的图象向下平移 m 个单位长度， 得到的函数的边界值 3 是 t，当 m 在什么范围时，满足 ≤t≤1? 4 图 Z10－2 3．[2013·北京] 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和⊙C，给出如下定义：若⊙C 上存 在两个点 A，B，使得∠APB＝60°，则称 P 为⊙C 的关联点． 11 已知点 D( ， )，E(0，－2)，F(23，0)． 22 (1)当⊙O 的半径为 1 时， ①在点 D，E，F 中，⊙O 的关联点是________； ②过点 F 作直线 l 交 y 轴正半轴于点 G， 使∠GFO＝30°， 若直线 l 上的点 P(m， n)是⊙O 的关联点，求 m 的取值范围； (2)若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围． 图 Z10－3 2 / 17 优质资料 4．[2012·北京] 在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)的“非 常距离” ，给出如下定义： 若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1－x2|； 若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1－y2|. 例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点 P2的“非常距离” 为|2－5|＝3， 也就是图 Z10－4(a)中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值(点 Q 为垂直于 y 轴的 直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 的交点)． 1 (1)已知点 A(－ ，0)，B 为 y 轴上的一个动点． 2 ①若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值． 3 (2)已知 C 是直线 y＝ x＋3 上的一个动点， 4 ①如图(b)，点 D 的坐标是(0，1)，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标． ②如图(c)，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点C 与点 E 的“非常 距离”的最小值及相应的点E 和点 C 的坐标． 图 Z10－4 1．[202X·平谷一模] b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值 y 满足：当 m≤x≤n 时，有 m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函 数 y＝－x＋4，当 x＝1 时，y＝3；当 x＝3 时，y＝1，即当 1≤x≤3 时，有 1≤y≤3，所以说 函数 y＝－x＋4 是闭区间[1，3]上的“闭函数”． 202X (1)反比例函数 y＝是闭区间[1，202X]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； x (2)若二次函数 y＝x2－2x－k 是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k 的值； (3)若一次函数 y＝kx＋b(k≠0)是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含 m，n 的代数式表示)． 3 / 17 优质资料 2．[202X·东城一模] 定义符号 min{a，b}的含义为：当 a≥b 时，min{a，b}＝b；当 a ＜b 时，min{a，b}＝a.如：min{1，－2}＝－2，min{－1，2}＝－1. (1)求 min{x2－1，－2}； (2)已知 min{x2－2x＋k，－3}＝－3，求实数 k 的取值范围； (3)已知当－2≤x≤3 时，min{x2－2x－15，m(x＋1)}＝x2－2x－15.直接写出实数 m 的取 值范围． 3．[202X·海淀二模] 如图 Z10－5(a)，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－1，0)， B(－1，1)，C(1，0)，D(1，1)，记线段 AB 为 T1，线段 CD 为 T2，点 P 是坐标系内一点．给 出如下定义： 若存在过点 P 的直线 l 与 T1， T2都有公共点， 则称点 P 是 T1－T2联络点． 例如， 1 点 P(0， )是 T1－T2联络点． 2 (1)以下各点中，________是 T1－T2联络点(填出所有正确的序号)； ①(0，2)；②(－4，2)；③(3，2)． (2)直接在图(a)中画出所有 T1－T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示． (3)已知点 M 在 y 轴上，以 M 为圆心，r 为半径画圆，⊙M 上只有一个点为 T1－T2联络 点， ①若 r＝1，求点 M 的纵坐标； ②求 r 的取值范围． 图 Z10－5 4 / 17 优质资料 4．[202X·门头沟一模] 如图 Z10－6，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝