亥姆霍兹线圈仿真

题目：题目： 为了获得一定区域上的匀强磁场，可采用多组Helmholtz 线圈结构。一种两对线圈的结构如 图 1 所示。线圈半径a1，a2，线圈间距h1，h2，以及线圈中通过电流i1，i2可变化量，如图1（a） 所示。为了定量衡量关注区域的磁场均压程度， 过轴线做截面ABo 1o2，取 CD=0.8×AB和Eo 3 = 0.8×Ao3，在CD和Eo 3 线段上每边均匀取 20 采样点，从而形成如图1（b）所示的采样节点， 定义z方向 B 的不均压系数为： 1 N N n 1 (B z (n) B z B z )2 其中，Bz为所有采样点的z方向磁感应强度平均值；Bz 为第n个采样点的z方向磁感应 强度值。N为采样点总数。定义参数： 问题：如果规定i 1 场“最均匀” 。 1 (n) h 1 / a 1 ， 2 h 2 / a 2 。 最小，即关注区域磁 i 2 ，问 1 、 2 、 1 a / a 2 如何取值可以使得 z o4 o3 2h2 2h1o o2i1 o1 i2 (a)线圈结构示意图 i2 a2 a1 i1 r E z o4 A C D B o3 o2i1 o1 i2 （b）磁场采样节点示意图 i2 i1 图 1.两对线圈产生匀强磁场示意图 仿真要求：仿真要求： 1)写出给定起点、终点、场点坐标，编制空间中一载流直线段在任意观察点的磁感应强度计 算程序。 2)写出单个圆环线圈空间任意点磁感应强度的计算程序，并进行验证。 3)复习 Matlab 中优化工具箱的使用。 1 / 9 二、仿真与分析：二、仿真与分析： （一）（一） 、一载流直线段在任意观察点的磁感应强度、一载流直线段在任意观察点的磁感应强度 1 1、理论分析：、理论分析： 如图，在直角坐标系内，设坐标原点为AB 中点，AB 在 z 轴上，起点A(0,0,-L/2)，终点 B(0,0,L/2)。根据书中例 3-1 的结论可知，对于通过电流I 的直导线 AB，任意观察点 P(x,y,z) ⃗为 到 AB 的距离为 R，作观察点 P 到 AB 的垂线交于点 H，则 P 点处产生的磁感应强度B ⃗ =B 又有 sin∠APH = cos∠A 故 ⃗ =B 2 2、仿真分析：、仿真分析： 为了提高计算效率，这里编程用matlab 计算时需用离散的方式来计算磁感应强度：先 μ0I 0 ⃗⃗⃗ [cos∠A + cos∠B]⃗α 4πR sin∠BPH = −cos∠B 图 1-1 μ0I 0 ⃗⃗⃗ [sin∠APH − sin∠BPH]⃗α 4πR ⃗， 计算一小段直导线 dl 在观测点处产生的磁场强度dB 再用叠加 的方法，求出整段载流直线段在观测点处的磁场。如：要算一 ⃗⃗⃗⃗在 P 处产生的磁场时，根据毕奥-萨伐尔定律， 小段载流导线⃗AB ⃗ =𝑑B × rμ0Idl 4π𝑟3 A B 图 1-2 P . 这里，由于 AB 是一小段载流导线，可做一个近似运算： ⃗ = 1/2(𝑑B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ μ0Idzμ0Idz × BP×⃗AP +) 4π𝐵𝑃34π𝐴𝑃3 由此，可得到整一段载流导线在观测点P 处产生的磁场为： ⃗ = ∫𝑑B ⃗ B 根据以上分析，得到计算一载流直线段的matlab 程序如附表。 现验证这种算法得到的结果与理论分析得到之间的误差： 以图 1-1 为例，假设HA=7，HB=3，HP=5，假设电流I=1A。则： （1）由理论推导得到 的公式计算： 4𝜋 × 10−7× 173 B =× (+) = 2.6564584 × 10−8 4𝜋 × 5 √52+ 72√52+ 32 2 / 9 而由matlab用叠加的方法来计算时， 将AB分成每段长度为0.001的小段来计算和叠加， 算得的结果为：B=2.6564577。两者相对误差低达10−7级别，可见这种算法与理论分析得到 的解析解几乎相同，所以算法合理。 还可以做出这种方法下在一平面上电磁场的分布情况的图像，如下图1-3： 图 1-3 由图可看出，B 的方向与电流方向符合右手螺旋定则， 箭头的长度代表磁感应强度的大 小，可以看到，越靠近载流线处B 越大。结果合理。 （二）单个圆环线圈空间任意点磁感应强度：（二）单个圆环线圈空间任意点磁感应强度： 1 1、理论推导：、理论推导： 对于单圆环线圈所产生的磁场情况， 由于此次仿真研究的问题是在平行于圆环平面上的 磁场不均匀程度，即如下图2-1，对磁感应强度z 轴分量 BZ进行不均压度分析，则只需关注 在 xoy 平面上点的 BZ，推导过程如下： z P（a,0,z） r o α R Idl y x 图 2-1 建立直角坐标系如上图，以圆环圆心为坐标原点，圆环在XOY 平面上，则根据对称性 我们可以得到，取观察点P（a,0,z）有以下关系： 3 / 9 ⃗ =dB × rμ0Idl 4πr3 = (−Rsinαdα,Rcosαdα,0)dl r = (a − Rcosα,−Rsinα,z) ⃗ ijk × rdl= |−Rsinαdα Rcosαdα0| a − Rcosα−Rsinαz 得到： μ0IR 2πzcosα Bx=∫dα 4π 0 r3 μ0IR 2πzsinα By=∫dα 4π 0 r3 μ0IR 2πR − xcosα 𝑑Bz=∫dα 4π 0 r3 其中，r = √R2+ a2+ z2− 2xRcosα 2 2、仿真与分析：、仿真与分析： （（2-12-1）小段电流元叠加法：）小段电流元叠加法： 根据（一）中得到的结果，可用分小段叠加的方法来求得一段载流导线在空间产生的电 磁场情况，此处，所谓的小段电流元叠加法，就是采取这种方法，根据以直代曲的方法，以 等边多边形来代替圆， 这样通过多边形的各边产生的电磁场的叠加， 即可得到圆形载流线圈 在空间产生电磁场的情况。 具体实现程序见附表。 （（2-22-2）梯形积分法求解：）梯形积分法求解： 理论分析已经得到了圆形载流线圈在空间分布的计算公式，可在 matlab 中用梯形积分 的方法对该情况下的磁场的分布。 【小结】 以上所述两种方法都可得到单个圆形载流线圈在空间的分布情况。 以下探讨这两种 方法的精度和运算速度，以确定后面进行多个线圈的磁场求解时求解方法的选择。 在线圈轴线上， 线圈轴线上的磁场理论计算较为简便， 故对轴线上的磁场情况进行分析： 假设线圈半径 R=2，线圈电流 I=1A，用理论解析法和以上两种数值方法计算线圈轴线 上各点磁场的结果进行归纳，如下表所示（数值方法1：即小段电流元叠加法，此处的计算 将圆分为正 100 边形进行计算；数值方法2：用梯形积分法进行求解） ： 4 / 9 具体编程见附表。 Z 理论计算结果（10-7） 数值方法 1 计算结果（10-7） 数值方法 2 计算结果（10-7） 1 2.24794 2.24794 2.24646 2 1.11072 1.11072 1.10999 3 0.53620 0.53620 0.53584 4 0.28099 0.28099 0.28081 5 0.16093 0.16093 0.16083 可见，用数值方法2，即用梯形函数积分法进行求解