二项式定理的十一种考题解法

二项式定理的十一种考题解法 1．二项式定理： 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式。 r②二项式系数:展开式中各项的系数C n (r  0,1,2,,n). ③项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第 r 1项C n ranrbr叫做二项式展开式的通项。用 rnrrT r1  C n ab 表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(n1)项。 ②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)n与(ba)n是不同的。 ③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n， 是升幂排列。各项的次数和等于n. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 012rnC n ,C n ,C n ,,C n ,,C n .项的系数是a与b的系数（包括二项式系数） 。 4．常用的结论： 122rrnnx C n x L C n x L C n x (n N) 令a 1,b  x, (1 x)n C n 0C n 第1页/共9页 122rrnnx C n x L C n x L  (1)nC n x (n N) 令a 1,b  x, (1 x)n C n 0C n 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即C n 0 C n n， · · ·C n k C n k1 ② 二 项 式 系 数 和 ： 令 a b 1 , 则 二 项 式 系 数 的 和 为 012rnC n C n C n L C n L C n  2n， 12rnC n L C n L  C n  2n1。 变形式C n ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 123nC n C n L  (1)nC n  (11)n 0， 在二项式定理中， 令a 1,b  1， 则C n 0C n 132r1从而得到：C n 0C n 2C n 4 C n 2r  C n C n L C n  2n 2n1 1 2 ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二 项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时， 则中间两项的二项 式系数C n1 2 n n 2 n ,C n1 2 n 同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设 展开式中各项系数分别 A r1  A r为A 1 , A 2 ,, A n1 ，设第r 1项系数最大，应有  ， A A  r1r2 第2页/共9页 从而解出r来。 6．二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用； 123nC n 6C n 62L C n 6n1 . 例：C n 123n6C n 62C n 63L  C n 6n与已知的有一些差距， 解：(1 6)n  C n 0C n 123n3C n 9C n L 3n1C n  . 练：C n 123n3C n 9C n L 3n1C n 解：设S n  C n ，则 12233nn012233nn3S n  C n 3C n 3 C n 3 L C n 3  C n C n 3C n 3 C n 3 L C n 3 1 (13)n1 (13)n14n1 S n  33 题型二：利用通项公式求x的系数； 例：在二项式( 4 的系数？ 解：由条件知C n n2 45，即C n 2 45，n2n90  0，解得n  9(舍去)或n 10， 由  1 4 10r 2 3 r 10r 2 r 43 n 1 32nx )的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项 x T r1  C (x) r 10 (x )  C x r 10 ，由题意 10r2 r  3,解得r  6， 43 63x  210 x3,系数为210。则含有x3的项是第7项T 61  C 10 练：求(x2 1 9)展开式中x9的系数？ 2x 第3页/共9页 解：T r1  C 9 r(x2)9r( 1 r 11 )  C 9 rx182r()rxr C 9 r()rx183r，令183r 9,则r 3 2x22 故x9的系数为C 9 3()3  1 2 21 。 2 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2  1 2 x )10的展开式中的常数项？ 解：T r1  C (x ) r 10 2 10r r 1 r 20 5 5 ()  C ( ) x 2 ，令20 r  0，得r  8，所以 222 x 1 rr 10 45 8 1 8T 9 C 10 ( )  2256 练：求二项式(2x  1 6)的展开式中的常数项？ 2x 1 rr6r 1 r62r)  (1)rC 6 2( ) x 2x2，令6 2r  0，得r  3，所以解： rT r1  C 6 (2x)6r(1)r( 3T 4  (1)3C 6  20 练：若(x2 )n的二项展开式中第5项为常数项，则n  ____. 1 442n12T 5  C n (x2)n4( )4 C n x x解：，令2n 12  0，得n  6. 1 x 题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式( x  3x)9展开式中的有理项？ 1 2 9r 1 3 r 27r 6 解：Tr1  C (x )(x )  (1) C x r 9 rr 9 27 r Z 6，令,(0  r  9)得r  3或r  9， 27  r  4 T  (1)3C3x4 84x4 9 所以当r  3时，6， 4 ， 第4页/共9页 27 r  3 T (1)3C9x3 x3 9 r  9当时，6， 10 。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若( x2  3 1 x2 1 3 )n展开式中偶数项系数和为256，求n. ( x2 解：设 x2 )n 展开式中各项系数依次设为a0,a1,an, 令x  1,则有a0  a 1 a n  0, ①，令x 1,则有 a 0  a 1  a 2  a 3   (1)na n  2n,② 将①-②得：2(a1  a 3  a 5 )  2n,a 1  a 3  a 5   2n1, n1 有题意得，2 练：若( 3  256  28，n  9。 1 5 1 n