新人教版高中数学必修一复习提纲

数学必修一复习提纲 第一章 集合和其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征： ⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法： ⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系： 从属关系：对象 、 集合；包含关系：集合 、 集合 五．三种运算： 交集： 并集： 补集： 六．运算性质： ⑴ ，． ⑵ 空集是随意集合的子集，是随意非空集合的真子集． ⑶ 若，则，． ⑷ ，，． ⑸ ，． ⑹ 集合的全部子集的个数为，全部真子集的个数为，全部非空真子集的个数为，全部二元子集（含有两个元素的子集）的个数为． 其次章 函数 指数与对数运算 一．分数指数幂与根式： 假如，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做．负的次方根记做． 1．负数没有偶次方根； 2．两个关系式：； 3、正数的正分数指数幂的意义：； 正数的负分数指数幂的意义：． 4、分数指数幂的运算性质： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ，其中、均为有理数，，均为正整数 二．对数和其运算 1．定义：若，且，，则． 2．两个对数： ⑴ 常用对数：，； ⑵ 自然对数：，． 3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即； ⑵ 底数的对数是1，即； ⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ． 5．其他运算性质： ⑴ 对数恒等式：； ⑵ 换底公式：； ⑶ ；； ⑷ ． 函数的概念 一．映射：设A、B两个集合，假如依据某中对应法则，对于集合A中的随意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射． 二．函数：在某种改变过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，依据某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，改变的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的改变范围叫做函数的值域． 三．函数是由非空数集到非空数集B的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域． 函数的解析式 一．依据对应法则的意义求函数的解析式； 例如：已知，求函数的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式； 例如：已知是一次函数，且，函数的解析式． 三．由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式． 函数的定义域 一．依据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式： ⑵ 分式：分母不等于0 ⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0 ⑷ 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 ⑸ 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．依据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知定义域为，求定义域； 已知定义域为，求定义域； 三．实际问题中，依据自变量的实际意义确定的定义域． 函数的值域 一．基本函数的值域问题： 名称 解析式 值域 一次函数 二次函数 时， 时， 反比例函数 ，且 指数函数 对数函数 三角函数 二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域确定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：视察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分别法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等． 反函数 一．反函数：设函数的值域是，依据这个函数中，的关系，用把表示出，得到．若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成． 二．函数存在反函数的条件是：、一一对应． 三．求函数的反函数的方法： ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域 ⑵ 反解，用表示，得 ⑶ 交换、，得 ⑷ 结论，表明定义域 四．函数与其反函数的关系： ⑴ 函数与的定义域与值域互换． ⑵ 若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则． ⑶ 函数与的图像关于直线对称． 函数的奇偶性： 一．定义：对于函数定义域中的随意一个，假如满意，则称函数为奇函数；假如满意，则称函数为偶函数． 二．推断函数奇偶性的步骤： 1．推断函数的定义域是否关于原点对称，假如对称可进一步验证，假如不对称； 2．验证与的关系，若满意，则为奇函数，若满意，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数． 二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． 三．已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别依据条件推断下列函数的奇偶性． 奇 奇 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 偶 偶 偶 偶 五．若奇函数的定义域包含，则． 六．一次函数是奇函数的充要条件是； 二次函数是偶函数的充要条件是． 函数的周期性： 一．定义：对于函数，假如存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期． 2．假如函数全部的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．假如函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为． 函数的单调性 一．定义：一般的，对于给定区间上的函数，假如对于属于此区间上的随意两个自变量的值，，当时满意： ⑴ ，则称函数在该区间上是增函数； ⑵ ，则称函数在该区间上是减函数． 二．推断函数单调性的常用方法： 1．定义法： ⑴ 取值； ⑵ 作差、变形； ⑶ 推断： ⑷ 定论： *2．导数法： ⑴ 求函数f(x)的导数； ⑵ 解不等式，所得x的范围就是递增区间； ⑶ 解不等式，所得x的范围就是递减区间． 3．复合函数的单调性： 对于复合函数，设，则，可依据它们的单调性确定复合函数，详细推断如下表： 增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增 4．奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同． 函数的图像 一．基本函数的图像． 二．图像变换： 将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像 将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像 将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像 将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像 关于轴对称 关于轴对称 将位于轴