五年级数学培优班讲义5 长方体和正方体的体积

上课时间： 学生签名：_________ 授课教师：苏建明家长签字 第五讲：正方体与长方体的体积 【专题知识点概述】 1、长方体\正方体体积 V=abhV=Sh =底面积×高 或 长方体体积=长×宽×高 长长3V=aV=Sh =棱长×棱长×棱长或 正方体体积正正 在解较复杂的组合图形（长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积）公式来解答。 【典型例题】 【例1】 凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸，长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。一天爸爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中），水面立即上升了6厘米，你知道这块假山的体积是多少？ 解题思路 鱼缸中放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就等于假山的体积。 解：4×3×0.6=7.2（立分分米） 答：这块假山的体积是7.2立分分米 巩固训练1 1、一个正方体玻璃鱼缸长2分米，向鱼缸内倒入5升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没，这时量得鱼缸内水深15厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？ 2、小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长20厘米，宽15厘米的长方体容器中，铁球完全被水埋没，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少立方厘米？ 3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放入棱长是8厘米的一个正方体玻璃容器内，向容器中倒入水，将石块完全埋没，测得水深6厘米，然后将石块从水中取出，测得水深3厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的体积是多少吗？ 【例2】 如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后 沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 由图可知，长方体底面的长为：13-3×解题思路2=(7厘米） 长方体底面宽为9-3×2=3（厘米） 长方体的高为3厘米 所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米） 解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×3=63(立方厘米） 答：这个纸盒的体积是63立方厘米。 巩固训练2 1、如图所示，从长为20厘米，宽为10厘米的长方形硬纸板的四角剪掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 2、一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米，这块长方形铁皮的面积是多少平方米？ 【例3】 一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如右图)，便成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？ 解题思路 由题意可知，表面积减少140平方厘米，这140平方厘米就是截去高为（4+3）厘米、底面为正方形的长方体的侧面积。由侧面积=底面积×高，可求出正方体的底面周长，由此，可求出正方体的棱长，从来求出原长方体的体积。 解：140÷（4+3）=20（厘米）……正方体底面周长 20÷4=5（厘米)…… 正方体棱长 5×5×（5+4+3）=300(立方厘米) 答：原长方体的体积是300立方厘米。 巩固训练3 1、一个正方体的高增加3厘米，得到的长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了60平方厘米，求原正方体的体积是多少？ 【例4】如图，在一个棱长为4厘米的正方体中，沿着上下方向，前后方向，左右方向挖穿，各挖出一个小长方体A,B,C.剩下部分的体积是多少立方厘米？ ：由于剩下的部分是不规则的形体，很难直接求出体积，我们可以换个角度考虑，先求出挖解题思路 出部分的体积，再从正方体的体积里减去挖出部分的体积，从而得到剩下部分的体积。 解：A和B共挖出的体积：1×4×2×2=16(立方厘米)， 挖出时C与A、B各有2个体积是1立方厘米的小正方体交叉重 复，只挖出：1×4×2-2×2=4， （立方厘米）一共挖出的体积：16+4=4 （立方厘米）×4-20=44剩下部分的体积：4×4 44立方厘米。答：剩下部分的体积是 4 巩固训练在每个面的中心位置都有3厘米的木块，宽4厘米，高1、有一个长5厘米，厘米的正方形，求出这个长方体木块的一个直穿对面的洞，洞口是边长为1 体积和表面积分别是多少？ 厘米的长方体木块，在左右两个面的中心位置挖出了一个直穿对面6厘米，宽8厘米，高2、有一个长10 分米的正方形。这个木块的体积和表面积分别是多少？的洞口，洞口是边长为1 分米的正方体铁块，熔铸成一块长方体铁块，它的横截面是边长为86分米和【例5】把两块棱长分别为 分米的正方形，这个长方体铁块长多少分米？4：在铁块熔铸的过程中，铁块的形状，表面积等发生了改变，但铁块的总体积保持不变，因解题思路，这也是熔铸后长方8=728（立方分米）8×8××此我们可以先求出原来两块铁块体积之和，即66×6+8× 体铁块的体积，要求出他的长，只要用体积除以横截面积即可。 分米）×4)=45.5(××88÷(4××解：66×6+88 45.5分米。答：这个长方体铁块长5 巩固训练平方分米的长方体铁块，这个铁块的长是多25101、把一个棱长分米的正方体铁块熔铸成一个横截面是 少？ 米的水池中，水池中水深多少米？米，深米，宽方水倒入一个长、将21501081.5 3、有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？ 【例6】有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样高，这个高是多少厘米？ 解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器底面积之和。用水的体积除以两个容器底面积之和，就是两个容器中水得高度