圆锥曲线的极坐标方程介绍

圆锥曲线的极坐标方程介绍 很多老师在讲授圆锥曲线或进行总复习时，为了解题方便的需要，对圆锥曲线的极坐标方程作了相应的介绍．因为介绍的不是很详细，很多同学还是很不清楚．下面，我再详细地介绍一下圆锥曲线的极坐标方程． 利用坐标系来确定平面内点的位置和建立曲线的方程，除了直角坐标系外，常用的还有??)(,P 极坐标系．它是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系． OXOO，再确定一个计在平面内取一固定点引一条射线，从（通常我们选取逆时针方向作为算长度的单位长和计算角度的正方向? O OXO叫正方向）．这样就构成了一个极坐标．其中，点叫做极点，X 图一 极轴（如图一）．||OPOPPPP点的极半径，是平面内一点，连接线段叫做，那么极点和，点的距离设?XOPOP?OXP点的极角，来表示；以极轴叫做为始边，射线，为终边的所成的通常用???P ，通常用点的极坐标．来表示．（）就是????)P(,的位置可按下列规则<0取负值．当时，点为了研究的方便，我们也允许 来确定：??||?||OPOMXOM??P，点，使，在OM作射线（如图二）使的反向延长线上???0)(?P ．，那么）的点点就是极坐标是（l M ??),P( Q ? ? O Xp ? XMG F ???),P(<0) ( 图二 图三 下面用极坐标来求圆锥曲线的方程．根据圆锥曲线的定义，我们如下建立直角坐标系：FGFGGlFXF为极轴，取的反向延长线垂直于准线取焦点，垂足为为极点，作0)p?p( ，设焦点到准线的距离为．（如图三）??l?OQ),P(FXPM?PEP，垂足，是圆锥曲线上的任意一点，连接设作，过MQ、 ，那么由圆锥曲线的第二定义，得：分别为|PF|e? ||PQ???cos|||PQ?GM||PF?p|?? ， 因为 ??e 所以 ??cosp?ep??0)p?(就是． ?cos1?e这就是圆锥曲线的极坐标方程． 2b(b,c?0)p?注意：对于椭圆和双曲线的一支，有即．然而对于抛物线，其中的p c20)p??2px(yp ．为抛物线标准方程中的下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的第 二问．，右准线的方）3，0（分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F本小题满分(22) (12 。程为：x = 12 ）求椭圆的方程；（1FP?P??PFP??P,P,PPFP ，使，证明）在椭圆上任取三个不同点（2113223231111??为定值，并求此定值。 |FP||FP||FP|312 Y PP 12l O F P 3X 但是在高考中可以看到该解法明显比极坐标方程方法复杂．下面是答案中提供的方法， 是允许使用极坐标方程方法的．22yx1?? ．）设椭圆方程为解：（I 22bay 0)(3，F3c? l 因焦点为，故半焦距． P PQ 1212a?xl 的方程为又右准线，从而由已知xFAO cP 32a 答（22）图236?，?12a ， c 2233??ba27?c?6?a ．，因此22yx1?? 故所求椭圆方程为． 2736???AFP?iA 3）（II）记椭圆的右顶点为，不失一般性，，并设1，2（，ii??42?2???????0≤??? ，假设，且． 113213331cQP??el 在又设点，因椭圆的离心率，从而有上的射影为 ii2a2??a?eFPcosFP??PQe?c? ??iiiii c??1? )FPcos?(9?)，23?(i1， ． ii2112???cos1??3)，12(，i? 解得 ．?? i29FP??i 因此????111221??4?????????cos?cos??cos3??? ，???????? 1112FP9FP3FP3????????312?42?????????cos???coscos 而???? 11133???? 3131?????0sincos??cos???sincos? ， 1111122222111??? 为定值．故 3FPFPFP321．