三共定理之共高定理

“景中教育数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义 第七讲第七讲“三共定理”——共高定理“三共定理”——共高定理 【学习目标】【学习目标】 ➢通过探索共高定理的过程，进一步掌握面积法。通过探索共高定理的过程，进一步掌握面积法。 ➢理解共高定理。理解共高定理。 ➢应用共高定理解决与面积比，应用共高定理解决与面积比， 线段比的问题，线段比的问题， 提高解决问题能力。提高解决问题能力。 新知新知探索共高定理探索共高定理 思考：思考：如图，你能作出下面这些三角形的高吗？它们的面积如何计算？ 从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上 三角形这条边上 1 的高的高。如下图，则它的面积可表示为：S ABC ah 2 还能作哪些 边上的高？ 议一议：议一议：如下图， 图中的三角形有什么共同点？它们的面积可以如何表示？它们之间的面积比 如何表示？ 共同点：ΔABC、ΔABD、ΔACD 都有共同的高。即都是共高三角形！ 共高三角形！ 其中：SABC 111 BCh、S ABD BDh、S ACD CDh 222 则 S ABC S ACD 1 BCh SBCS ACD CDBC 2  ；同理 ABC ； 1 S ABD BDS ABD BDCD CDh 2 它们之间的面积关系我们应该怎么来概括呢？ 通过思考，我们可以把这个事实概括为一个重要的结论：共高定理 共高定理 第 1 页 共 6 页 “景中教育数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义 共高定理共高定理：若 ：若 M M 在直线在直线 ABAB 上，上，P P 为直线为直线 ABAB 外一点，则有外一点，则有 S PAM AM  S PBM BM 即共高三角形的面积比，等于它们对应的底边之比即共高三角形的面积比，等于它们对应的底边之比 【尝试练习【尝试练习 1 1】】如图 1△ABC，点 D 为 BC 边中点，则S ABD 与SABD的关系怎样？ 【尝试练习【尝试练习 2 2】】如图 2△ABC，点 D 为 BC 边上一点，且BD：DC=2：1，则S ABD 与SABC的关 系怎样？ 想一想：想一想：如图直线 a∥b，点 A、B 是直线 a 上两点，点 P、Q 是直线 a 上两点，图中ΔABP、 ΔABQ 是否是共高三角形？为什么？它们的面积有什么关系？还有没有共高三角形？ 结论：结论：Δ ΔABPABP、Δ、ΔABQABQ 是共高三角形，并且是同底等高是共高三角形，并且是同底等高 的共高三角形。它们的面积相等！的共高三角形。它们的面积相等！ 推理写法：∵推理写法：∵a a∥∥b b ∴∴ S ABP  S ABQ 方法总结：方法总结：可以想象，在一些与面积有关的问题中，我们就可不需要计算具体的面积就可利 用共高定理来解决一些与面积有关的问题或线段问题了！ 【例】【例】如图梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 交于点 O， 求：SBOC、SCOD、SAOD分别等于多少？ AO1  ，SABO 2。 CO2 第 2 页 共 6 页 “景中教育数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义 解题思路：解题思路：找共高三角形，利用共高定理可得。 AO1 解：解：∵ ，SABO 2 CO2 ∴ S ABO AO1  （共高定理） S BOC CO2 ∴SBOC 4，SABC SABOSBOC 6 ∵AB∥CD ∴SABDSABC 6，SADO 4 ∴ S ABO AO1  （共高定理） S DOC CO2 ∴SCOD8 【尝试练习】【尝试练习】如上图梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 交于点 O， BO2  ，SABO 2。 DO3 则：SBOC，SCOD，SAOD。 【知识应用探究】【知识应用探究】 题型题型 I I共高定理的应用共高定理的应用 【例 1】如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的中点。 用面积方法证明：DE△BC 且 DE＝ 1 BC． 2 证明：∵D、E 分别是 AB、AC 边上的中点 ∴ S ADE AD 1即S ADE S DEB （共高定理） S DEB DB S ADE AE 1即S ADE  S DEC （共高定理） S DEC EC 第 3 页 共 6 页 “景中教育数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义 ∴SDEBSDEC（等量代换） ∴DE△BC（平行线面积判定法） 又∵SADE SDEC即SDEC 1 S ADC 2 S ADC  S DBC （共高定理） ∴SDEC 又∵DE△BC ∴ 1 S DBC 2 S DEC DE11  （共高定理）即 DE＝BC S DBC BC22 ∴DE△BC 且 DE＝ 1 BC． 2 本题解后说明：本题解后说明：本题就是我们今后要学习的三角形中位线定理，它还可以用今后所学习的 共角定理、正弦知识、相似三角形的性质等知识来加以证明 【重要结论】【重要结论】 1 1、、连接三角形两边中点的线段，叫三角形的中位线。连接三角形两边中点的线段，叫三角形的中位线。 2 2、、三角形中位线定理：三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于第三边的一半。三角形的中位线平行且等于第三边的一半。 3 3、如图，在、如图，在△ABC△ABC 中，中，D D、、E E 分别是分别是 ABAB、、ACAC 边上的中点。边上的中点。 则则 DEDE 是是△ABC△ABC 的的中位线 中位线 那么那么 DE△BCDE△BC 且且 DEDE＝＝ 1 BCBC．． 2 【同步提升训练】【同步提升训练】 基础训练基础训练 1、如图 ABCD 为平行四边形，E 为 AD 的中点，且 BF2  ，SAEF1，则SABF， EF1 S ABC  ，SBCF，S四边形CDEF。 第 1 题第 2 题第 3 题 2、如图，若△ABC 中的 BD=DE=EC，BF=FA，△EDF 的面积是 1，则△ABC 的面积是。 第 4 页 共 6 页 “景中教育数学”——重建三角与北师大几何教材整合实践讲义 3、如图，AE= 11 EB，AD=DC，且SAED1，那SABC。 32 2 综合演练综合演练 4、如图 ABCD 为平行四边形，EF 平行 AC，如果SADE 4cm求ΔCDF 的面积。 5、如图在平行四边形 ABCD 中，直线 CF 交 AB 于 E，交 DA 延长线于 F，若三角形 ADE 的面积 为 1，求三角形 BEF 的面积。 6、我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等， 则把这对 顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形 ABCD 中，可证点A、C 到 BD 的距 离相等， 所以点 A、 C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点， 同理可知点 B、 D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点. A A D D BC BC 图 1图 2图