2020高考数学----立体几何中的建系设点问题

第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何 第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中， 有些题目可以使用空间向量解决问题， 与其说是向量运算， 不如说是点的坐标运算， 所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要， 建立合适的直角坐标 系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 z z 1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的， 垂直 底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点 2、x, y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么 几个原则值得参考： x x O O y y （1）尽可能的让底面上更多的点位于x, y轴上 （2）找角：x, y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、 常用的空间直角坐标系满足x,y,z轴成右手系， 所以在标 z z D D F F A A G G B B J J C C I I x x A A H H B B y y E E C C x,y轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应 不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致 的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直） ， 这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： O O ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直） ： 第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何 ① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若AB  AC  BC，则AB  AC （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3 类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D 点，坐标特点如下： 222 x轴：x,0,0y轴：0,y,0z轴：0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为x, y,0，即竖坐标z  0，由于底面在作立体图时往往失真， 所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出H,I点的坐标，位置关系清晰明了 O OC C I I 1  1  H 1, ,0,I ,1,0  2 2 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果A x 1, y1,z 在底面的投影为 Ax 2, y2,0  ，那么 A A H H B B x 1  x 2 , y 1  y 2 （即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可 以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的B点，其投 影为B，而B1,1,0所以B 1,1,z，而其到底面的距离为1，故坐标为B1,1,1 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点， 但总还有一些特殊点， 那么就要用到第三 个方法： 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式：Ax 1, y1,z1 ,Bx 2, y2,z2 ， 则AB 中点M 图中的H,I,E,F等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算 （先设再求） ： 向量坐标化后， 向量的关系也可转化为坐标的关系，  x 1  x 2 y 1  y 2 z 1  z 2  ,, ， 222  第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何 进而可以求出一些位置不好的点的坐标， 方法通常是先设出所求点的坐标， 再选取向量，利 用向量关系解出变量的值，例如：求A 点的坐标，如果使用向量计算，则设A x, y,z， 可直接写出A1,0,0,B1,1,0,B 1,1,1，观察向量 AB  AB ，而AB 0,1,0， x 1 0 x 1  A B x 1,y 1,z 1y 11 y  0A 1,0,1 z 1 0z 1  二、典型例题： 例 1：在三棱锥P ABC中，PA平面ABC，BAC  90，D,E,F分别是棱 AB,BC,CD的中点，AB  AC 1,PA  2，试建立适当的空间直角坐标系并确定各点坐 标 解： P PA平面ABCPA  AB,PA  AC F BAC  90PA,AB,AC两两垂直 A 以AP,AB,AC为轴建立直角坐标系 坐标轴上的点：A0,0,0,B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2 中点：D: AB中点 B C D E  1  ,0,0  2   E : BC中点,,0  1 1 2 2   1 2 F : PC中点0,,1   综上所述：B1,0,0,C0,1,0,P0,0,2,D ,0,0 ,E ,,0,F 0, ,1 小炼有话说：本讲中为了体现某些点坐标的来历， 在例题的过程中进行详细书写。 这些过程 在解答题中可以省略。 例 2：在长方体ABCD  A 1B1C1D1 中，E,F分别是棱BC,CC1上的点，CF  AB  2CE，  1 2    1 1 2 2     1 2  AB : AD : AA 1 1: 2:4，建立适当的直角坐标系并写出点的坐标 第八章第 63 炼 立体几何解答题的建系设点问题立体几何 思路：建系方式显而易见，长方体AA 1,AB,AD 两两垂直， 本 题 所 给 的 是 线 段 的 比 例 ， 如 果 设 A A1 1 B B1 1 C C1 1 D D1 1 AB  a,AD  2a,AA 1  4a等，则点的坐标都含有a，不 便于计算。 对待此类问题可以通过设单位长度， 从而使得坐 标都为具体的数。 解：因为长方体ABCD  A 1B1C1D1 A A F F D D B B AB,AD,AA 1 两两垂直 以AB,AD,AA 1 为轴如图建系，设AB为单位长度 E E C C AD  2,AA 1  4,CF 1,CE  1 2 B1,0,0,C1,2,0,D0,2,0,B 1 1,0,4,A 1 0,0,4,C 1 1,2,4,D 1 0,2,4 3 E1, ,0,F1,2,1  2  例 3： 如图， 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD  DC  CB